Ueber das Axiom (den Satz) von der Winkelsumme im Dreieck. (Q1533393)

Den Kern dieser Abhandlung bildet folgender Versuch, das Parallelenaxiom zu beweisen. Gehen in einer Ebene drei Kreislinien durch einen Punkt \(O\), so bilden die zwischen den drei anderen Schnittpunkten liegenden Bogen ein Dreieck, dessen Winkel am Punkte \(O\) wiederkehren und dort die Winkelsumme \(2R\) geben. Der Verf. lässt nun \(O\) in den unendlich fernen Punkt der Ebene rücken, wodurch die Kreise in Gerade übergehen, während der Satz von der Winkelsumme erhalten bleibt. Der Punkt \(O\) kann aber als vereinigter Schnittpunkt der drei Kreislinien nur dann in unendliche Entfernung rücken, wenn man die Ebene als eine im Unendlichen geschlossene Kugelfläche betrachtet, und das unendlich ferne Dreieck der Gegenpunkte des gegebenen Kugeldreiecks als unendlich klein, d. h. als jenen Schnittpunkt \(O\) ansieht. Der Beweis des Axioms wird also nur unter gleichen Umständen in eine in unendlicher Entfernung befindliche unendlich kleine Figur verlegt, wodurch die principielle Schwierigkeit nicht beseitigt, sondern nur umgangen erscheint. Um diesen Beweis gruppiren sich Studien über mathematische Grundbegriffe, lineare Gleichungen und Dreieckstransversalen. S. 21 lesen wir: ``Drei Punkte, die nicht in einer Geraden liegen, nennt man ein Dreieck. Die Punkte selbst heissen Ecken''. Auf dem Wege von dem allgemeinen Titel des Programms bis zum Separattitel der Abhandlung hat sich das ``Axiom'' in einen ``Satz'' verwandelt. Auch sonst noch machen sich Spuren der Eile bemerklich.