Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der Collineationen und Reciprocitäten. (I. Mitteilung.) (Q1533532)

Die mit der ``rein-geometrischen Theorie der Darstellung binärer Formen durch Punktpruppen auf der Geraden'' von H. Wiener (vgl. F. d. M. XVII. 1885. 592 ff., JFM 17.0592.01) vertrauten Leser dürfen sehr leicht erkennen, dass Herr Ameseder dieselbe als Ausgangspunkt gewählt hat. Nach einer allgemeinen Entwickelung der Sätze über die cyklischen Reihen einer Projectivität (im eindimensionalen Gebiete) und ihre ``conjugirte'' Involution (dieselbe, welche wir früher nach Herrn Segre ``Ordnungsinvolution'' genannt haben; F. d. M. XVIII. 1886. 548, JFM 18.0547.01), von welchen Sätzen etliche aus der oben angeführten Wiener'schen Arbeit entlehnt sind, beschäftigt sich der Verfasser mit den Beziehungen, welche zwischen einer Geraden und einem Kegelschnitte, zwei Kegelschnitten oder zwei durch ein Paar windschiefer Geraden gehenden Flächen zweiter Ordnung statt haben. Den bezüglichen Sätzen giebt er einen solchen Ausdruck, dass sie in keinem Falle ihre Geltung verlieren. Es würde ganz überflüssig sein, diejenigen anzuführen, welche als verallgemeinerte Schnittsätze angesehen werden können. Aber wir glauben eine Pflicht zu erfüllen, wenn wir auf die Erweiterung der Kenntnisse bezüglich derjenigen bemerkenswerten Lagen hinweisen, welche drei lineare Congruenzen besitzen können. Die erste ist durch die folgende Eigenschaft gekennzeichnet: durch einen Punkt des Raumes gehen drei Congruenzstrahlen \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), \(\gamma_3\), welche drei Ebenen \(\gamma_1 \gamma_3\), \(\gamma_3 \gamma_1\), \(\gamma_1 \gamma_2\) bestimmen; diese Ebenen enthalten drei weitere Strahlen \(\gamma_1'\), \(\gamma_2'\), \(\gamma_3'\) die sich in einer vierten Ebene befinden, so dass die Strahlenpaare \(\gamma_1 \gamma_1'\), \(\gamma_2 \gamma_2'\), \(\gamma_3 \gamma_3'\) sich in einer vierten Ebene befinden. Ausser dieser (``tetraedral'' genannten) Lage von drei Congruenzen lässt sich eine andere nachweisen, bei welcher die zu den Congruenzen gehörigen, gescharten Collineationen in einer Regelschar, deren Leitschar den Congruenzen gemeinsam ist, drei Involutionen erzeugen, von denen jede zu den beiden anderen harmonisch ist. Wenn auch einige der obigen Sätze die Ebene und den Raum betreffen, so sind sie doch aus der methodischen Erforschung der Gebilde erster Stufe entsprungen, welche den Gegenstand des ersten Abschnittes der in Rede stehenden Abhandlung bildet. Im zweiten werden die Collineationen im zwei- und drei-dimensionalen Gebiete gründlich untersucht, um die ausgezeichneten Elemente einer (allgemeinen) Collineation zu bestimmen und daraus eine Einteilung dieser Verwandtschaften in Arten zu gründen: Herr A. findet das wohl bekannte Resultat wieder, dass es zwei Arten ebener und vier räumliche allgemeine Collineationen giebt. Wie und welche anderen ausgezeichneten Elemente man in einer Collineation entdecken und ihre Eigenschaften aufstellen kann, mag der Leser aus der Originalarbeit selbst entnehmen. Da der Verfasser durch die zwei besprochenen Abschnitte die Grundeigenschaften der im gewöhnlichen Raume sich darbietenden Collineationen erschöpft zu haben meint, so wendet er sich im dritten zu Systemen von Collineationen. Nach einem Hülfssatz über Projection und Schnitt eines Vierecks behandelt er der Reihe nach ein durch eine ebene Collineation bestimmtes Collineationsnetz und ein analoges, durch eine ebene Collineation bestimmtes Collineationsgebüsch, ferner Collineationssysteme höherer Stufe u. s. w., endlich die (Hermite'schen, durch Herrn Sturm schon geometrisch untersuchten) Collineationen, welche eine Fläche zweiten Grades in sich selbst überführen. Wenn wir alle diese Gegenstände nur flüchtig berühren, so geschieht dies, weil die meisten der erzielten Resultate schon bekannt sind. Die Ableitungsmethode, welche sich auf eine consequente Verwendung der cyklischen Reihen gründet, ist zwar neu; aber es ist unmöglich, hier die Einzelheiten zu verfolgen. Nur mag bemerkt werden, dass der Verfasser seinen Zweck: ``für die Collineation eine reingeometrische Theorie, und zwar mit besonderer Berücksichtigung ihrer ausgezeichneten Elemente, zu geben'', vollkommen erreicht zu haben scheint. Es ist leicht zu sehen, dass der Gedankengang und die Methode des Herrn A. auch auf die Reciprocitäten passt; die Ueberschrift des besprochenen Aufsatzes bietet ein beweiskräftiges Zeugnis, dass Herr A. sich dessen vollkommen bewusst war. Ein zu früher und höchst bedauerlicher Tod hat es verhindert, dass das darin enthaltene Versprechen von dem genannten Geometer gehalten werde. Da die angedeutete Aufgabe uns sehr interessant scheint, so können wir diesen Bericht nicht schliessen, ohne den Wunsch auszusprechen, die schönen Untersuchungen von anderer Seite fortgeführt und zu Ende gebracht zu sehen.