Lineale Construction von Kegelschnitten aus teilweise imaginären Elementen. (Q1533573)

Herr Stolz in Innsbruck hatte in seinen Vorlesungen 1886 den Gedanken ausgesprochen, dass sich bei fünf einen Kegelschnitt bestimmenden Punkten \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) der zweite Schnittpunkt auf einer durch \(A\) gehenden geraden Linie auch dann linear construiren lasse, wenn von den fünf Punkten nur drei reell, die beiden andern ein Paar complex conjugirte Punkte sind, oder wenn nur einer reell ist und die vier andern zwei Paare complex conjugirter Punkte bilden. Der Verfasser, ein Schüler von Herrn Stolz, giebt hier die Constructionen, welche sich auf dem von Herrn Stolz angedeuteten Wege ergeben, und beweist dieselben. Dabei wird immer der Pascal'sche Satz, der ja bei fünf reellen Punkten ohne weiteres zu der gewünschten Construction führt, zugrunde gelegt. In jedem der beiden Fälle ergeben sich zwei Constructionen. Beispielsweise führen wir die im zweiten Falle sich ergebende erste Construction hier an. Der reelle Träger des ersten Paares complex conjugirter Punkte heisse \(a\), der Träger für das zweite Paar \(b\), der reelle Punkt \(C'\). Durch \(C\) geht eine beliebige Gerade \(g\), deren zweiter Schnittpunkt mit dem durch die gegebenen fünf Punkte gehenden Kegelschnitte gesucht wird. In den beiden Involutionen, durch welche die beiden Paare complex conjugirter Punkte auf \(a\) und \(b\) bestimmt werden, entspreche dem Schnittpunkte \(P\) von \(a\) und \(b\) bezw. \(P_a\) und \(P_b\). Ferner entspreche in diesen Involutionen dem Schnittpunkte \(G_a\) von \(g\) und \(a\) der Punkt \(G_a'\), sowie dem Schnittpunkte \(G_b\) von \(g\) und \(b\) der Punkt \(G_b'\). Nun suche man erstens den Schnittpunkt \(K\) von \(g\) mit \(P_a G_b'\), zweitens den Schnittpunkt \(L\) von \(a\) mit \(CP_b\) und dann drittens den Schnittpunkt von \(b\) mit \(KL\). Verbindet man letzteren mit \(G_a'\), so schneidet die Verbindungslinie die Gerade \(g\) in dem gesuchten sechsten Kegelschnittpunkte.