Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der Raumcurve vierter Ordnung erster Species. (Q1533627)

Die im Titel genannte Curve, der vollständige Schnitt zweier Oberflächen zweiter Ordnung, ist nicht allein in vielen grösseren geometrischen Werken gelegentlich berührt und untersucht, sondern auch recht oft der Gegenstand besonderer Abhandlungen gewesen. Die vom Verfasser des vorliegenden Buches angegebene Litteratur ist eine so reichhaltige, dass Referent darauf verzichten muss, sie hier wiederzugeben. Trotzdem waren bisher die Eigenschaften der \(C_1^4\) noch nie sämtlich aus den Elementen der räumlichen Geometrie rein geometrisch abgeleitet. Dies thut hier der der Wissenschaft inzwischen durch den Tod entrissene Geometer in der ihm eigenen, ebenso geschickten wie gründlichen Weise. Naturgemäss stützen sich seine Untersuchungen auf seine früheren synthetischen Arbeiten, namentlich auf seine Bücher über ``Kegelschnitte'', über ``Oberflächen zweiter Ordnung und Raumcurven dritter Ordnung'', sowie über ``ebene Curven dritter Ordnung''. Hauptsächlich kam es in dieser Schrift auch darauf an, alle jene Eigenschaften synthetisch zu erkennen, welche aus der Darstellung der Coordinaten eines Punktes der Curve durch einen Parameter vermittelst doppelt- periodischer Functionen und aus einer Anwendung des Abel'schen Theorems entsprossen sind (Clebsch in J. für Math. LXIII). In der Einleitung verkennt der Verfasser nicht, dass er manche wichtige Fragen, besonders die Realitäts- und Gestaltungs-Verhältnisse, noch unerörtert gelassen hat, Fragen die einer weiteren Forschung vorbehalten bleiben. Da es die Grenzen eines Referats überschreiten würde, wenn hier auf die entwickelten Eigenschaften oder gar die Art ihrer Ableitung eingegangen würde, so begnügt sich der Referent damit, die Ueberschriften der zwölf Paragraphen anzugeben, in die das Buch zerfällt. \S 1. Die \(C_1^4\) als Grundcurve eines Büschels von Flächen zweiten Grades. \S 2. Construction der \(C_I^4\) durch acht willkürlich und unabhängig von einander gegebene Punkte. \S 3. Tangente und Schmiegunsebene in einem Punkte der \(C_I^4\) \S 4. Bestimmung der \(C_I^4\) durch zwei Tripel von je drei Punkten und lineare Construction weitere Punkte der Raumcurve. \S 5. Charakteristische Eigenschaft eines Punktetripels der \(C_I^4\). \S 6. Tetraeder, die der \(C_I^4\) einbeschrieben sind, und deren Seitenflächen ihr in vier andern Punkten einer Ebene begegnen. \S 7. Die Reye'schen Sätze über Gruppen von acht associirten Punkten auf der \(C_I^4\). \S 8. Punktquadrupel auf der \(C_I^4\), deren Tangenten hyperboloidische Lage haben. \S 9. Einige Eigenschaften von Punktquadrupeln der \(C_I^4\) im Zusammenhange mit dem gemeinsamen Polartetraeder des Büschels, dessen Grundcurve die \(C_I^4\) ist. \S 10. Besondere Hyperboloide des Büschels, dessen Grundcurve die \(C_I^4\) ist \S 11. Die 16 Wendeberührungspunkte der \(C_I^4\) und ihre Verteilung zu je vieren in Ebenen. \S 12. Tetraeder, deren Seitenflächen sämtliche Wendeberührungspunkte der \(C_I^4\) zu je vieren enthalten.