Ueber algebraische Correspondenzen. Zweite Abhandlung. Specialgruppen von Punkten einer algebraischen Curve. (Q1533676)

Die vorliegende Abhandlung ist die Fortsetzung einer Abhandlung gleichen Titels, über welche F. d. M. XX. 1888. 709 (JFM 20.0709.02) referirt worden ist. Wenn \(f(x, y)= 0\) die Gleichung einer algebraischen Curve von der Ordnung \(n\) und vom Geschlechte \(p\) ist, so spricht sich das Problem der Specialgruppen algebraisch, wie folgt, aus: Man soll auf der Curve \(f(x, y) = 0\) eine Gruppe \(G_R\) von \(R\) Punkten \(x_1, y_1;\dots;x_R,y_R\) so bestimmen, dass die durch sie hindurchgehenden adjungirten Curven \((n-3)^{\mathrm ter}\) Ordnung noch eine \(q\)-fach unendliche Schar bilden, wo die Zahl \(q\) grösser ist als \(p-1-R\). Sind \(\varrho_1(x, y)=0,\dots, \varrho_p(x,y) = 0\) \(p\) solche linear unabhängigen Curven \((n-3)^{\mathrm ter}\) Ordnung, so müssen alsdann von den \(R\) Gleichungen \[ \begin{aligned} & \alpha_1 \varphi_1(x_1,y_1)+\alpha_2 \varphi_2(x_1,y_1)+\cdots + \alpha_p \varphi_p(x_1,y_1)=0,\\ & \hdotsfor1\\ & \alpha_1 \varphi_1(x_R,y_R)+\alpha_2 \varphi_2(x_R,y_R)+\cdots + \alpha_p \varphi_p(x_R,y_R)=0, \end{aligned} \] \(r=q-p+1+R\) eine identische Folge der übrigen sein, eine Beziehung, welche sich durch das Verschwinden sämtlicher \((R-r+1)\)-reihigen Determinanten der aus den Elementen \(\varphi(x, y)\) gebildeten Matrix ausdrückt. Ein besonderes Interesse beansprucht wegen seiner Beziehung zu der Frage nach den Moduln der algebraischen Curve der schon von Riemann hervorgehobene Fall, dass die Zahl \(R\) einen Maximalwert annimmt. Dieser Fall tritt ein für \(R=\frac 32 p-3\), \(r=\frac 12 p-1\), \(q=1\), bezüglich \(R=\frac 12(3p-7)\), \(r = \frac 12(p-3)\), \(q = 1\), je nachdem \(p\) eine gerade oder eine ungerade Zahl ist. Das hiermit bezeichnete Problem lässt sich nun mit Hülfe des Riemann- Roch'schen Satzes auf ein einfacheres Problem zurückführen, welches sich algebraisch, wie folgt, ausdrückt: Es sollen solche \(Q = \frac 12 p+1\) bezüglich \(= \frac 12(p+3)\) Wertepaare \(x_1, y_1; \dots; x_Q, y_Q\) bestimmt werden, so dass für dieselben sämtliche \(Q\)-reihigen Determinanten der Matrix \[ \begin{Vmatrix}\l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\\ \varphi(x_1,y_1) & \varphi_2(x_1,y_1) & \dots & \varphi_p(x_1,y_1) \\ \hdotsfor4\\ \varphi_1(x_Q,y_Q) & \varphi_2(x_Q,y_Q) & \dots & \varphi_p(x_Q,y_Q) \end{Vmatrix} \] verschwinden, während noch die Gleichungen \(f(x_1, y_1) = 0,\dots, f(x_Q, y_Q) = 0\) bestehen. Dieses Problem nimmt der Verfasser in folgender Weise in Angriff. Zunächst werden die Gleichungen untersucht, welche man erhält, wenn man alle \(k\)-reihigen Determinanten einer Matrix von \(k\) Horizontalreihen und \(k+i\) Verticalreihen gleich 0 setzt, wobei man sich die Elemente als irgend welche ganze rationale Functionen von einer so grossen Anzahl von Veränderlichen denke, dass das Problem einen Sinn hat. Der Verfasser gewinnt eine Recursionsformel, mit deren Hülfe sich die Anzahl der Lösungen jener Gleichungen berechnen lässt. Nunmehr wird andererseits nach der Anzahl der Lösungen eines Gleichungssystems gefragt, welches allgemein die Form \(\varphi(x_1, y_1; \dots; x_k,y_k) =0,\dots, \vartheta(x_1, y_1; \dots; x_k, y_k) = 0\) hat, während zugleich die Beziehungen \(f(x_1, y_1) = 0, \dots, f(x_k, y_k)=0\) zu erfüllen sind. Durch successive Elimination wird der Fall von \(k\) Veränderlichenpaaren auf den Fall von drei Paaren Veränderlicher zurückgeführt, in welchem letzteren Falle die gesuchte Anzahl durch eine sehr einfache Formel gewonnen werden kann. Nach einer darauf folgenden ausführlichen Untersuchung der ``symmetrisch gestalteten'' Correspondenzen sind dann die Mittel vorhanden, um das oben bezeichnete Problem der Specialgruppen zu lösen. Das hauptsächlichste Ergebnis ist ein Ausdruck für die Anzahl der Wertepaare, welche sämtliche \(Q\)-reihigen Determinanten der obigen Matrix zum Verschwinden bringen, während jedes derselben auch noch die Function \(f\) zu 0 macht. Zum Schluss wird eine Anwendung auf die Frage nach den algebraischen Functionen gemacht, welche in der geringsten Anzahl von Punkten 0 und \(\infty\) werden, und es zeigt sich dabei das gewonnene Resultat in Uebereinstimmung mit einer auf anderem Wege von Hrn. Castelnuovo gefundenen Formel.