Bifocal curves. A mathematical study (Q1533779)

Gegenstand dieses Aufsatzes sind die bifocalen Curven, d. h. die Durchschnitte einer bifocalen Oberfläche mit einer durch die Hauptaxe gehenden Ebene; dabei ist unter bifocaler Oberfläche eine Oberfläche verstanden, deren Punkte hinsichtlich zweier im Raum gegebenen Punkte so liegen, dass Lichtstrahlen, die aus einem dieser Punkte ausgehen, nachdem sie von der Oberfläche gebrochen oder zurückgeworfen sind, durch den andern Punkt gehen oder in ihm zusammentreffen; beide Punkte werden als Brennpunkte der Oberfläche bezeichnet. Weil das Problem rein mathematisch aufgefasst wird, so sind die behandelten Curven dadurch charakterisirt, dass die Sinus der Winkel, welche die Normale mit den beiden Radienvectoren bildet, in jedem Punkte das nämliche Verhältnis geben. Die einfachste Form für die Gleichung der Curven ergiebt sich in bipolaren Coordinaten. Nach der allgemeinen Betrachtung kommen zunächst die besonderen Formen zur Besprechung. Der Reihe nach behandelt der Verfasser die Kreisform, die hyperbolische Bifocale, die umgekehrte Ellipse, die konchoidale Bifocale, die umgekehrte Hyperbel, die elliptische Bifocale. Darauf wird die allgemeine Gleichung der bifocalen Curven auf das einfache Polarsystem übertragen, woraus sich neue Eigenschaften ergeben, und dann wird dieselbe auf natürliche Coordinaten zurückgeführt, wozu der Krümmungsradius dient nebst dem Winkel, den die Tangente mit der Geraden bildet, die im Perifocus senkrecht auf der Hauptaxe steht. Auch diese Gleichung unterwirft der Verfasser einer genauen Untersuchung, wodurch auch die Erforschung der Inflexionspunkte der bifocalen Curven ermöglicht wird. Ferner wird der Ort der Scheitel berechnet, d. h. der Punkte, wo der Krümmungsradius ein Maximum oder ein Minimum erreicht. Schliesslich werden die verschiedenen Formen auf fünf Typen zurückgeführt und diese näher betrachtet; die Charakteristik ist zunächst den Inflexionspunkten entnommen, welche bei der typischen Elliptica fehlen, wohl aber vorkommen bei der typischen Hyperbolica, der umgekehrten Ellipse und allen konchoidalen Curven.