Zur Goursat'schen Reduction des Problems der Bestimmung der Curven durch die Relation zwischen Krümmungs- und Torsionswinkel. (Q1533817)

Die Abhandlung des Herrn Goursat: Sur un problème relatif aux courbes à double courbure (Toul. Ann. I. C. 1-26) hat Herr Hoppe (F. d. M. XIX. 1887. 751, JFM 19.0751.01) besprochen und dabei darauf hingewiesen, dass die Behauptung des Herrn Goursat, Herr Hoppe habe das Problem (J. für Math. LX. 182) nur unter specieller Voraussetzung behandelt, durchaus nicht zutreffe; vielmehr sei seine (Herrn Hoppe's) Lösung, die er auch später wieder in der Curventheorie mitgeteilt hat, genau von derselben Allgemeinheit, wie die des Herrn Goursat. Gleichwohl hat Herr Hoppe bereits in jenem Referat anerkannt, dass die Form der Goursat'schen Lösung grosse Vorzüge besitzt. Er sieht sich nun veranlasst, die Goursat'sche Reduction nochmals herzuleiten, und zwar ist seine Herleitung insofern eine Vereinfachung, als er das Bogenelement, welches Herr Goursat unnötigerweise in seinen Entwickelungen beibehalten hat, von vorn herein ausscheidet. So gelangt er in der That zu einer sehr einfachen Behandlung des Problems, welches nach Vorausschickung einiger einfachen Sätze über lineare Differentialgleichungen entwickelt wird. Das Resultat stellt sich in sehr eleganter Weise folgendermassen dar: Sind \(f\), \(g\), \(h\) die Richtungscosinus der Tangente, \(f'\), \(g'\), \(h'\) die der Hauptnormale, \(l, m, n\) die der Binormale, und sind \(d \tau, d \vartheta, d \sigma\) die unendlich kleinen Winkel zwischen diesen drei Geraden und ihren consecutiven, so kommt es darauf an, \(\tau, \vartheta\) und \(\sigma\) so zu bestimmen, dass \[ d \tau=d \sigma.\cos \lambda,\quad d \vartheta=d \sigma.\sin \lambda \] wird, während \(\lambda\) eine gegebene Function der unabhängigen Veränderlichen ist. Dazu bilde man die Differentialgleichung \[ \frac{d^2y}{d \sigma^2}+i\;\frac{d \lambda}{d \sigma} \cdot \frac{dy}{d \sigma} + \tfrac 14\, y=0. \] Ist \(y\) ein Integral derselben und \(y_1\) der zu \(y\) conjugirte Wert, so ist ein zweites Integral \(\frac{dy_1}{d \sigma}\, e^{-i \lambda}\). Bildet man ferner \(z=2\frac{dy}{d \sigma}\;e^{i \lambda}\), so ist ein System, welches die Bedingung erfüllt, das folgende: \[ f+il=yz,\quad g+im=\tfrac i2(y^2+z^2),\quad (h+in)=\tfrac 12 (y^2-z^2), \] woraus auch \(f'\), \(g'\), \(h'\) bestimmt werden können. Jedes andere System von Lösungen lässt sich durch Orthogonalsubstitution in dieses überführen. Die Lösung lässt sich alsdann noch ihrer imaginären Form entkleiden. Der Verfasser zeigt nun, wie der von ihm früher gegebenen weiteren Reduction des Problems noch zwei andere zur Seite gestellt werden können, von denen die eine mit der Goursat'schen im wesentlichen übereinstimmt, aber eine etwas einfachere Form besitzt, als sie ihr Herr Goursat gegeben hat.