Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve iperellittiche. (Q1533840)

Da die bei eindeutiger Transformation invarianten Eigenschaften der ebenen Curven eng verbunden sind mit den Eigenschaften jener Flächen, als deren ebene Schnitte diese Curven betrachtet werden können, so stellt sich der Verfasser die Aufgabe, diese Schnittcurven zu untersuchen, und gelangt zu dem Nachweise, dass eine Fläche, deren ebene Schnitte hyperelliptische Curven sind, unter gewissen Beschränkungen rational ist, d. h. eindeutig auf die Ebene abgebildet werden kann. Da die rationalen und elliptischen Curven als specielle Fälle der hyperelliptischen aufgefasst werden können, so werden sie kurz besprochen, und zwar wird zuerst darauf hingewiesen, dass die Herren Noether (Math. Ann. III, vgl. F. d. M. II. 1869/70. 616, JFM 02.0616.02), Picard (J. für Math. C, F. d. M. XVIII. 1886. 743, JFM 18.0743.02) und Guccia (Palerme Rend. I. 165-168, F. d. M. XIX. 1887. 787, JFM 19.0787.01) bereits gezeigt haben, dass alle Flächen mit rationalen Schnitten rational sind, und dass die einzigen Flächen dieser Gattung die rationalen Regelflächen und die Steiner'sche Fläche sein können. Dann ergiebt sich weiter, dass jede Fläche, deren Schnitte elliptische Curven sind, rational sein muss, dass aber der Grad einer solchen Fläche höchstens die Zahl 9 erreicht. Hierauf folgt der Beweis für die bereits erwähnte Rationalität der Flächen mit hyperelliptischen Schnitten, wobei sich ergiebt, dass, wenn das Geschlecht der Schnittcurve \(>1\) ist, die Fläche \(\infty^1\) Kegelschnitte enthält, und zwar in der Weise, dass durch jeden Punkt der Fläche nur ein Kegelschnitt geht. Eine solche Fläche mit hyperelliptischen Schnittcurven kann so auf die Ebene abgebildet werden, dass den Schnitten der Fläche Curven von einem gewissen Grade \(r\) entsprechen, die einen \((r-2)\)-fachen Punkt und etwa noch andere Punkte zu gemeinsamen Basispunkten haben. Der Grad der Fläche, welche hyperelliptische Curven vom Geschlechte \(\pi\) zulässt, kann dann höchstens \(4\pi+4\) betragen. Beschränkt man sich auf die Untersuchung der Flächen, die diesen Maximalgrad besitzen, und nennt Directrixcurve eine jede Curve auf der Fläche, welche jeden der \(\infty^1\) Kegelschnitte nur in einem Punkte schneidet, so kann man die Flächen nach der kleinsten Zahl der Directrices klassificiren und erhält hierdurch zwei verschiedene Flächenspecies, die vom Autor zuerst direct und dann durch Betrachtung der linearen Systeme untersucht werden, die sie in der Ebene darstellen.