Sulle superficie algebriche le cui sezioni sono curve di genere 3. (Q1533841)

Anknüpfend an die Untersuchungen der eben besprochenen Note (siehe JFM 22.0788.01), wird hier das folgende allgemeinere Problem aufgestellt: Rechnet manalle Flächen, deren Schnittcurven ein gegebenes Geschlecht besitzen, dann zu einer Familie, wenn sie alle aus einer derselben durch Projection von einem ausserhalb oder auf ihr gelegenen Punkte erhalten werden können, so handelt es sich darum, alle jene Flächenfamilien anzugeben, deren Schnittcurven ein gegebenes Geschlecht \(\pi\) besitzen, und dieselben vom Gesichtspunkte ihrer Darstellbarkeit auf bekannten oder einfacheren Raumgebilden zu studiren. Unter Schnitt einer Fläche hat man hierbei das Schnittgebilde einer in einem Raume von \(r\) Dimensionen \(S_r\) gelegenen Fläche mit einem Raume \(S_{r-1}\) zu verstehen. Durch die Schwierigkeit des Problems sieht sich jedoch der Verfasser gezwungen, seine Untersuchungen auf diejenigen Flächen mit Schnittcurven von gegebenem Geschlechte \(\pi\) zu beschränken, welche ein System von mindestens \(\infty^{\pi-1}\) Curven von der Ordnung \(2\pi-2\) besitzen, die auf der erzeugenden Schnittcurve die Specialschar \(y_{2\pi-2}^{(\pi-1)}\) ausschneiden. Die Lösung dieses Problems, das er im Falle der ``hyperelliptischen'' Curven vom Geschlechte \(\pi\overset{=}> 2\) bereits in der vorangehend besprochenen Note behandelt hat, gelingt ihm in der vorliegenden Abhandlung auch allgemein für den Fall des Geschlechtes \(\pi=3\). Ist \(F^{(n)}\) eine Fläche \(n^{\mathrm ter}\) Ordnung, deren erzeugender Schnitt eine Curve vom Geschlechte 3 ist, und giebt es auf einer solchen Fläche ein lineares System \((\gamma)\), bestehend aus Curven \(\gamma\) von der Ordnung 4, welche auf jeder Schnittcurve von \(F^{(n)}\) die Specialschar \(g_4^{(2)}\) ausschneiden, so kann man die Flächen \(F^{(n)}\) nach dem Charakter des Systems \((\gamma)\) in vier Species einteilen: Flächen ``erster Species'' erhält man dann, wenn in \((\gamma)\) ein lineares System von \(\infty^2\) rationalen Curven vierter Ordnung \((\gamma_0)\) enthalten ist; Flächen ``zweiter Species'', wenn in \((\gamma)\) ein lineares System von \(\infty^2\) Curven vierter Ordnung vom Geschlechte 1 allein sich findet; die ``dritte Species'' ergiebt sich, wenn in \((\gamma)\) ein System von \(\infty^2\) Curven vierter Ordnung vom Geschlechte 2 allein vorkommt, und die ``vierte Species'', wenn \((\gamma)\) nur Systeme von \(\infty^2\) Curven vierter Ordnung vom Geschlechte 3 enthält. Dazu kommt dann noch der Fall, dass \(\gamma\) in zwei Kegelschnitte zerfällt, was bei den Flächen mit hyperelliptischen Schnitten eintritt, und dass \(\gamma\) in vier Gerade sich auflöst, welcher Fall den Regelflächen entspricht. Aus der Fülle von Resultaten, welche der Verfasser durch Betrachtung dieser Flächengattungen gewinnt, können wir hier nur folgende als die wichtigsten herausheben: Jede Fläche der ersten Species ist rational und kann auf der Ebene mittels eines linearen Systems von allgemeinen Curven vierter Ordnung dargestellt werden. Der Grad einer solchen Fläche kann höchstens die Zahl 16 erreichen, welche einer Fläche \(F^{(1)}\) entspricht, die dem Raume \(S_{14}\) angehört. Jede Fläche erster Species kann dann aus \(F^{(1)}\) durch Projection gewonnen werden. Jede Fläche zweiter Species wird durch Projection einer Fläche achter Ordnung \(F^{(2)}\) des \(S_6\) abgeleitet, welche der höchsten möglichen Ordnung entspricht, und zwar, indem man zunächst aus ihr für einzelne Räume gewisse Normalflächen und aus diesen dann durch Projection alle übrigen ableitet. Diese \(F^{(2)}\) lässt sich auffassen als der Schnitt einer Fläche zweiter Ordnung des \(S_6\) mit einem Kegel, der von einem ausserhalb des Raumes \(S_5\) gelegenen Punkte eine Fläche vierter Ordnung \(\varPhi^{(4)}\) projicirt, die diesem \(S_5\) angehört. Die Fläche \(\varPhi^{(4)}\) wurde bereits von Herrn Veronese studirt: Mem. Accad. dei Lincei (vgl. auch Segre: Considerazioni intorno alla geometria delle coniche, Torino Atti XX, F. d. M. XVII. 1885. 607, JFM 17.0607.01, und Study: Ueber die Geometrie der Kegelschnitte, Math. Ann. XXVII, F. d. M. XVIII. 1886. 629, JFM 18.0629.01). Ferner kann \(F^{(2)}\) auf eine einfache Ebene eindeutig abgebildet werden, und zwar mit Hülfe eines Systems von \(\infty^6\) Curven sechster Ordnung mit sieben gemeinsamen Doppelpunkten, woraus sich eine Reihe von Eigenschaften der \(F^{(2)}\) ableiten lässt. Die Flächen dritter und vierter Species werden vom Autor nur kurz erwähnt, da ihre Untersuchung leichter dadurch geschieht, dass man sie als zu den Flächen vom Geschlechte 1 oder zu den Regelflächen gehörig betrachtet. Ausserdem hat schon Herr Noether (Ueber die rationalen Flächen vierter Ordnung, Math. Ann. XXXIII) auf sie bezügliche Fragen eingehend behandelt. Diejenige Fläche endlich, aus welcher durch Projection alle jene Flächen erhalten werden können, deren Curven \(\gamma\) in Kegelschnitte zerfallen, ist die \(F^{16}\) des Raumes \(S_{14}\) und wird auf der Ebene entweder repräsentirt mittels jener Curven sechsten Grades, welche einen vierfachen und einen Doppelpunkt gemeinsam haben, oder mittels Curven von der Ordnung \(8-\mu\) mit einem \((6-\mu)\)-fachen Punkte und \(3-\mu\) zu diesem unendlich benachbarten Doppelpunkten \((\mu= 0, 1, 2, 3)\).