Ueber rationale Curven und Regelflächen. (Q1533842)

Sind \(f(\lambda), \varphi(\lambda),\psi(\lambda),\chi(\lambda)\) vier ganze rationale Functionen \(n^{\mathrm ten}\) Grades von \(\lambda\), so stellen die Gleichungen \[ x:y:z:1 = f(\lambda):\varphi(\lambda):\psi(\lambda):\chi(\lambda) \] die Coordinaten einer rationalen Raumcurve \(C_n\) dar, deren Punkte den Werten des Parameters \(\lambda\) eindeutig zugeordnet sind. Ferner sei eine andere Raumcurve \(p^{\mathrm ter}\) Klasse \(K_p\) entsprechend gegeben durch die Gleichungen \[ u:v:w:1 = \alpha(\mu):\beta(\mu):\gamma(\mu):\delta(\mu), \] wo \(\alpha(\mu),\beta(\mu),\gamma(\mu),\delta(\mu)\) ganze rationale Functionen \(p^{\mathrm ten}\) Grades von \(\mu\) bedeuten; dann drückt die Gleichung \[ F(\lambda,\mu)=\alpha(\mu) f(\lambda)+ \beta(\mu)\varphi(\lambda) + \gamma(\mu) \psi(\lambda) + \delta(\mu) \chi(\lambda)=0 \] aus, dass der dem Parameterwerte \(\lambda\) entsprechende Punkt der Curve \(C_n\) auf der zu \(\mu\) gehörigen Ebene der Curve \(K_p\) gelegen ist. Wenn nun die Functionen \(f, \varphi, \psi, \chi, \alpha, \beta, \gamma, \delta\) von der besonderen Art sind, dass die Function \(F(\lambda, \lambda)\) identisch für alle \(\lambda\) verschwindet, so entspricht jedem Punkte \(\lambda\) der Curve \(C_n\) eindeutig die Schmiegungsebene \(\mu=\lambda\) der Curve \(K_p\), so dass in diesem Falle die beiden Curven eindeutig auf einander bezogen sind. Nimmt man die Coefficienten der Functionen \(f, \varphi, \psi,\chi\) als gegeben an, so liefert die Identität \(F(\lambda, \lambda)=0\) für die \(4p+4\) homogenen Coefficienten der Functionen \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) gerade \(n+p+1\) lineare Gleichungen, und diese sind demnach, wenn man \(p = \frac 13(n-2)\) annimmt, im allgemeinen eindeutig bestimmt, d. h.: Wenn \(n\) von der Form \(3p+2\) ist, so giebt es zu einer rationalen Raumcurve \(C_n\) von der \(p^{\mathrm ten}\) Ordnung im allgemeinen eine bestimmte Raumcurve \(K_p\) von der \(p^{\mathrm ten}\) Klasse, welche sich jener eindeutig in der Weise zuordnet, dass jede ihrer Schmiegungsebenen durch den ihr entsprechenden Punkt der \(C_n\), geht. Es ist klar, dass man unendlich viele Curven von der genannten Eigenschaft erhalten kann, indem man \(p\) grösser als \(\frac 13(n-2)\) wählt. Die auf solche Weise erhaltenen Klassencurven lassen sich umgekehrt zu einer linearen Construction der \(C_n\) verwenden. Nimmt man nämlich irgend drei solcher Klassencurven \(K_p\), so schneiden sich je drei entsprechende Schmiegungsebenen derselben in einem Punkte der \(C_n\), und dabei ist es offenbar, dass man für die Klasse der Curven \(K_p\) in keinem Falle eine höhere Zahl als \(\frac 13(n+2)\) zu nehmen \(braucht\). Indem man nun die Klassencurven, aus denen die gegebene Ordnungscurve entsteht, ihrerseits aus Curven niederer Ordnung erzeugt und so fortfährt, kommt man schliesslich auf lauter Punktreihen, bezüglich Ebenenbüschel, aus denen sich somit durch passende Anordnung der Construction jede rationale Raumcurve herstellen lässt. Die nämliche Methode führt zu den entsprechenden Sätzen über die Construction der allgemeinen rationalen ebenen Curve und der rationalen windschiefen Fläche.