Loxodromen und kürzeste Linien auf dem Kreisring. (Q1533875)

Durch Rotation des Kreises \[ (x-a)^2+z^2 =b^2 \] um die \(z\)-Axe entsteht die Kreisring genannte Fläche: \[ x=(a-b \cos u)\cos v,\quad y= (a-b \cos u)\sin v,\quad z = b \sin u. \] Als Gleichung der Loxodromen ergiebt sich: \[ \text{tg\,}\tfrac u2 = \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\;\text{tg} \left( \frac{ \sqrt{a^2-b^2}}{2b}\;v \text{\,tg\,} \alpha + C \right), \] wo \(\alpha\) den Winkel zwischen Loxodrome und Parallelkreis \(u\) = const. bezeichnet, als Gleichung der Kürzesten: \[ v=\int \frac{du}{(a-b \cos u) \sqrt{C(a-b \cos u)^2-b^2}} + C. \] Offenbar giebt es von den ersteren stets zwei, symmetrisch zur Ebene der \(xz\).