Arithmetices principia nova methoda exposita a J. P. (Q1534710)

Der Logikcalcül ist von verschiedenen Autoren nach abweichenden Methoden dargestellt worden. Sein besonderes Verfahren ist durch gut ausgewählte Beispiele beleuchtet worden; was man aber nach unserem Wissen noch nicht geleistet hatte, ist der Nachweis, wie man mit seiner Hülfe eine beliebige mathematische Theorie darstellen könnte. Diese Lücke ist durch die Schrift des Herrn Peano ausgefüllt worden, über welche zu berichten ist. In einer Einleitung, betitelt ``Logicae notationes'', giebt der Verfaser zunächst in knapper, aber sehr klarer Form eine Uebersicht über die Principien der mathematischen Logik, die zum Verständnis des Folgenden nötig sind. Der letzte Teil dieser Einleitung ist sehr bemerkenswert; er enthält nämlich die Theorie jener Abbildungen, deren sich Hr. Dedekind mit so grossem Erfolge in seiner trefflichen Schrift bedient hat: ``Was sind und was sollen die Zahlen?'' Hierauf kommt der Verf. zu seinem Gegenstande. Er setzt voraus, eine Gruppe von Individuen (die Zahlen) seien gegeben, definirt durch eine gewisse Menge von Eigenschaften, die ausreichen, um die ganze Gruppe zu erzeugen, wenn man von einem seiner Elemente (der Einheit) ausgeht, und um die Eigenschaften der Gruppe zu beweisen. Die Sätze über die Addition bilden den Hauptgegenstand des \(\S\) 1 der Arith. Princ.; sodann werden die Subtraction, die Multiplication, die Potenzirung und die Division bezw. in den \(\S \S 2,4,5,6\) vorgeführt. Den in den Logiksymbolen dargestellten Beweisen ist als gemeinschaftlicher Charakter die Anwendung der vollständigen Induction eigen. Im \(\S 7\) findet man unter dem Titel ``Theoremata varia'' die Fassungen einiger Sätze aus der Zahlentheorie vereinigt, deren Beweis als eine sehr nützliche Uebung dem Leser überlassen ist. Der \(\S 8\) handelt im Anschluss an das VII. Buch des Euklid von den ``Numerorum rationes''; der \(\S 3\) von den Grundzügen der Theorie des Grössten und Kleinsten. Endlich verallgemeinert der eine der beiden letzten Paragraphen die Sätze über die ganzen Zahlen und die Verhältnisse für die irrationalen Zahlen, während der andere ein wichtiger Beitrag zur G. Cantor'schen Theorie der linearen Punktgruppen ist. Zum Schluss empfehlen wir die Schrift den Lesern mit der Bitte, sich durch die Schwierigkeiten, welche die Schlussfolgerungen des Hrn. Peano der folgerechten Auffassung bieten, nicht abschrecken zu lassen, und mit dem Rate, die Fassungen und Beweise der Sätze der Arith. Princ. in die gewöhnliche Redeweise zu übertragen. Auf solche Weise lassen sich die Vorteile, welche die mathematische Logik bietet, ad oculos zeigen und auch neue Anwendungen derselben auffinden. Bemerkte Druckfehler: \[ \begin{matrix} \text{S} & \text{XII} & \text{Zeile} & 2 & \text{statt} & [\kappa] \varepsilon \alpha & \text{lese} & \text{man} & [\kappa \varepsilon] \alpha;\\ \text{''} & \text{''} & \text{''} & 23 & \text{''} & [\varepsilon \alpha] y & \text{''} & \text{''} & [\varepsilon] \alpha y;\\ \text{''} & \text{XIII} & \text{''} & 18 & \text{''} & \text{??} & \text{''} & \text{''} & \varepsilon;\\ \text{''} & 1 & \text{Prop.} & 3 & \text{''} & a, b, c & \text{''} & \text{''} & a,b;\\ \text{''} & \text{''} & \text{''} & 4 & \text{''} & a, b & \text{''} & \text{''} & a,b,c;\\ \text{''} & 12 & \text{''} & 21 & \text{''} & D(a,b) & \text{''} & \text{''} & \text{??}(a,b).\end{matrix} \]