Méthode pratique pour la résolution numérique des équations algébriques ou transcendantes. (Q1534787)

Die Abhandlung bezweckt, die Gräffe'sche Methode für die numerische Berechnung der sämtlichen Wurzeln einer Gleichung consequent und vollständig durchzuführen. Während Gräffe selbst in seiner der Berliner Akademie 1837 eingereichten Denkschrift sich darauf beschränkt hatte, die reellen Wurzeln und die absoluten Beträge der imaginären zu bestimmen, hat Encke in seiner Darstellung der Gräffe'schen Methode (Crelle's J. XXII) auch schon die vollständige Berechnung der imaginären Wurzeln gegeben. Das Originale in der Arbeit des Herrn Carvallo ist nun eine einfachere, dem Geiste der Gräffe'schen Methode angemessenere Berechnung der imaginären Wurzeln. Nach der Grösse ihrer absoluten Beträge geordnet, seien die Wurzeln der gegebenen Gleichung \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{m}\). Gelangt man bei der successiven Bildung der Hülfsgleichungen zu einer Gleichung \[ y^{m} + A_1 y^{m - 1} + \cdots + A_{p - 1} y^{m - p + 1} + A_{p} y^{m - p} + A_{p + 1} y^{m - p - 1} + \cdots + A_{m} = 0, \] deren Wurzeln \(\beta_{1}, \beta_{2}, \dots, \beta_{m}\) etwa die \(\mu^{\text{ten}}\) Potenzen von resp. \(\alpha_{1}, \alpha_{1}, \dots, \alpha_{m}\) seien, in welcher der Coefficient \(A_p\) eine gewisse, leicht zu erkennende Eigenschaft besitzt, so ist \(\beta_{p + 1}\) verschwindend klein gegen \(\beta_{p}\), und für die Bestimmung der Wurzeln \(\beta_{1}, \dots, \beta_{p}\) können die Glieder \(A_{p + 1} y^{m - p - 1}, \dots, A_{m}\), für die Bestimmung der Wurzeln \(\beta_{p + 1}, \dots , \beta_{m}\) die Glieder \(y^m, A_1 y^{m - 1}, \dots , A_{p - 1} y^{m - p + 1}\) vernachlässigt werden. Man kann auf diese Weise stets eine Gleichung erhalten, die in Fragmente zerfällt, deren jedes die Wurzeln von genau oder annähernd gleichem absoluten Betrage liefert. Es wäre nur zu wünschen gewesen, dass Herr Carvallo, welcher der Encke'schen Arbeit Mangel an Strenge vorwirft, etwas genauer den Einfluss der vernachlässigten Glieder auf die Berechnung der Wurzeln untersucht hätte. Die Ausdehnung der Gräffe'schen Methode auf transcendente Gleichungen besteht in dem Ersatz einer analytischen Function für einen beschränkten Bereich der Veränderlichen und für eine vorgeschriebene Genauigkeit durch eine ganze rationale Function und in der Anwendung der Methode auf die so entstehende algebraische Gleichung.