Das erweiterte Formensystem. (Q1534802)

Das simultane System mehrerer quadratischer binärer Formen \(f_{1}, f_{2}, f_{3}, \dots\) besteht aus den Formen \[ f_{i};(f_{i}, f_{k});((f_{i}, f_{k}), f_{i})^{2};(f_{i}, f_{k})^{2}, \] und wenn man hier die Indices der \(f\) weglässt, so erhält man das System von Typen: \[ f;(f, f);((f,f),f)^{2};(f,f)^{2}. \] Dieses letztere System nennt der Verfasser ``das erweiterte System der quadratischen Form \(f\)'', im Gegensatz zu dem einfachen System der quadratischen Form \(f\), welches nur die beiden Formen \(f\); \((f,f)^{2}\) enthält. Der Begriff des erweiterten Systems wird entsprechend für eine binäre Form beliebigen Grades definirt. Hierauf wird allgemein das Verfahren zur Aufstellung des erweiterten Systems entwickelt; es beruht dies Verfahren auf symbolischer Rechnung und ist im wesentlichen dasselbe, wie dasjenige, welches der Verfasser zur Aufstellung des einfachen Systems angewandt hat; nur wird die Annahme fallen gelassen, dass während der Rechnung die Symbole der \(f\) beliebig vertauscht werden dürfen. Beispielsweise wird das erweiterte System einer kubischen Form und dasjenige einer biquadratischen Form aufgestellt. Es wird ferner gezeigt, wie man aus dem ersteren Systeme das einfache simultane System zweier kubischen Formen und aus letzterem dasjenige zweier biquadratischen Formen erhält. Die wichtigste Anwendung der erweiterten Systeme beruht darauf, dass es mit ihrer Hülfe gelingt, volle Invariantensysteme für binäre Formen mit mehreren Veränderlichenreihen aufzustellen, welche verschiedenen linearen Substitutionen unterworfen sind. Es wird zunächst die Endlichkeit solcher Invariantensysteme allgemein gezeigt und dann für die quadratoquadratische Form \(T = r_{x}^{2} s_{y}^{2}\) das entsprechende Invariantensystem aufgestellt. Dasselbe besteht im ganzen aus 38 Formen.