Eine besondere Art von Covarianten bildender Operation. (Q1534813)

Es sei eine binäre Form \(6^{\text{ter}}\) Ordnung vorgelegt \[ f = a_x^6 = b_x^6 = \cdots = A_0 x_1^6 + 6A_1 x_1^5 x_2 + \cdots + A_6 x_2^6, \] und \(F\) bedeute eine Invariante derselben, welche in den Coefficienten \(A_0, A_1, \dots, A_6\) vom \(2^{\text{ten}}\) Grade, in den Veränderlichen \(v_1, v_2\) ebenfalls vom \(2^{\text{ten}}\) Grade und in den Veränderlichen \(x_1, x_2\) vom \(6^{\text{ten}}\) Grade ist; es wird gesetzt: \[ F = F_0 x_1^6 + 6F_1 x_1^5 x_2 + \cdots + F_6 x_2^6. \] Der Verfasser bezeichnet nun mit \(\underset{v = u} \delta\) diejenige Operation, welche sich zusammensetzt aus 1) dem Aronhold'schen Process \[ \delta = F_0\;\frac{\partial}{\partial A_0} + F_1\;\frac{\partial}{\partial A_1} + \cdots + F_6\;\frac{\partial}{\partial A_6} \] und 2) dem Gleichsetzen der beiden Veränderlichenreihen \(v_1, v_2\) und \(u_1, u_2\). Führt man diese Operation an einer Covariante von \(f\) aus, welche die Veränderlichen \(u_1, u_2\) enthält, so wird, wie man sieht, der Grad derselben in den Coefficienten von \(f\) um 1 und der Grad derselben in den \(u_1, u_2\) um 2 erhöht. Unter Anwendung der üblichen Bezeichnungen für die Covarianten einer binären Form \(6^{\text{ter}}\) Ordnung (vgl. P. Gordan's Vorlesungen über Invariantentheorie \(\S\) 26) findet man: \[ \begin{aligned} & \underset{v = u} \delta f = C_1 H, \quad \underset{v = u} \delta H = C_2 kf, \quad \underset{v = u} \delta k = C_{31} Af + C_{32} p,\\ & \underset{v = u} \delta A = C_4 l, \quad \underset{v = u} \delta \varDelta = C_{51} A^2 f + C_{62}Bf + C_{53}Ap + C_{54}kl,\\ & \underset{v = u} \delta B = C_{61} Al = C_{62}m, \quad \underset{v = u} \delta p = C_{71} lf + C_{72} AH + C_{73} k^2,\\ & \underset{v = u} \delta l = C_{81}Ak + C_{82} \varDelta, \quad \underset{v = u} \delta m = C_{91} A^2 k + C_{92} Bk + C_{93} A \varDelta + C_{94} l^2,\end{aligned} \] wo die \(C\) numerische Constanten sind. Diese Gleichungen zeigen, dass die 9 Covarianten \(f, H, k, A, \varDelta, B, p, l, m\) ein in sich geschlossenes System bilden derart, dass durch Anwendung der Operationen \(\underset{v = u} \delta\) stets Covarianten derselben Art entstehen. Mit Rücksicht auf die Bedeutung dieser Covarianten für die Thetafunctionen werden die numerischen Constanten \(C\) für die drei Fälle: \[ 1)\quad F = H_{v}^2 H_{x}^6 \quad 2)\quad F = (xv)^2 k_x^4 \quad 3)\quad F = - \frac{(ab)a_{v}^3 a_{x}^2 b_{x}^5}{(xv)} \] wirklich berechnet.