On the reduction of a bilinear quantic of the \(n^{\text{th}}\) order to the form of a sum of \(n\) products by a double orthogonal substitution. (Q1534826)

Eine homogene ``lineo-lineare'' Function in zwei Systemen von Variabeln \(x, y, \dots, z; \; u, v, \dots, w\) enthält \(n^2\) Glieder. Zwei unabhängige orthogonale Substitutionen für die beiden Systeme führen zweimal \(\tfrac 12 n (n - 1)\) verfügbare Constanten ein, und durch eine passende Wahl derselben können \(n^2 - n\) Glieder der transformirten Function zum Verschwinden gebracht werden, sodass eine Summe der Producte der neuen \(x, y, \dots, z\) mit den neuen \(u, v, \dots, w\) übrig bleibt. Die angedeutete Transformation kann leicht durch eine Methode erzielt werden, welche derjenigen sehr ähnlich ist, nach welcher eine quadratische Form von \(n\) Variabeln vermittelst einer orthogonalen Substitution auf ihre kanonische Gestalt gebracht wird; darauf kann a posteriori der Beweis geführt werden, dass die Substitutionen in diesem Falle, wie in dem anderen, reell ausfallen, wenn die ursprünglichen Coefficienten reell sind. Der Verf. hält es jedoch für lehrreicher und interessanter, diese Behauptung a priori zu beweisen, und zwar durch eine Methode, die derjenigen nachgebildet ist, über welche im vorangehenden Referate (siehe JFM 21.0125.02) berichtet ist. Der leitende Gedanke in dieser Notiz, wie in der vorigen, liegt also darin, dass eine endliche orthogonale Substitution als das Product einer unendlichen Anzahl infinitesimaler Substitutionen angesehen werden kann.