Ueber die conjugirte Transformation einer bilinearen Form in sich selbst. (Q1534827)

Die Arbeit behandelt das Problem, eine bilineare Form \(S = \varSigma a_{ik} x_{i} y_{k}\) der \(n\) Variabelnpaare \(x, y\) durch die beiden zu einander conjugirten linearen Substitutionen \[ x_{i} = \varSigma c_{im} \xi_{m}, \quad y_{k} = \varSigma c_{nk} \eta_{n} \] in sich selbst zu transformiren. Was die angewandten Symbole und Bezeichnungen anbetrifft, so vergleiche man die Arbeit von Hrn. Frobenius: ``Ueber bilineare Formen und lineare Substitutionen'' Journ. für Math. LXXXIV (F. d. M. IX. 1877. 85, JFM 09.0085.02). Bezeichnet man die zu jener Substitution gehörige bilineare Form \(\varSigma c_{ik} x_{i} y_{k}\) mit \(U\), so erkennt man, dass die gestellte Aufgabe darauf hinausläuft, eine bilineare Form \(U\) zu finden, für welche die symbolische Gleichung \[ USM = S \] besteht. Wegen \[ US^2 = (US)S = SU^{-1}S = S (U^{-1}S) = S^2 U \] kommt die letztere Aufgabe wiederum auf die Ermittelung der mit \(S^2\) vertauschbaren Formen hinaus (\(\S\) 1). Es wird nun der folgende Satz gezeigt: Wenn eine beliebige Form \(U\) mit \(S^2\) vertauschbar ist, so ist \(U\) auch mit \(S\) vertauschbar, falls die charakteristischen Functionen von \(S\) und \(-S\) teilerfremd sind. Setzt man \(E = \varSigma x_{i} y_{i}\), so folgt wegen \(US = SU\) die Gleichung \((U^2 - E) S = 0\), d. h. \(U^2 = E\), und es handelt sich nun darum, alle Formen \(U\) zu finden, welche diesen Bedingungen genügen. Dieses Problem wird schrittweise gelöst: 1) wenn alle Nullstellen der charakteristischen Function von \(S\) von einander verschieden sind, 2) wenn zu jeder Nullstelle nur ein einziger Elementarteiler gehört, 3) wenn die charakteristische Function von \(S\) nur einfache Elementarteiler hat, und 4) im allgemeinsten Falle (\(\S\) 2). Ausser den eben bestimmten Substitutionen giebt es, sobald die charakteristischen Functionen von \(S\) und \(-S\) gemeinsame Teiler haben, noch andere, welche mit \(S^2\), nicht aber mit \(S\) vertauschbar sind. Diese Substitutionen werden in \(\S\) 3 bestimmt. \(\S\) 4 beschäftigt sich mit der für alle diese Fragen wichtigen und mit der Theorie der conjugirten Transformationen überhaupt in engem Zusammenhang stehenden symbolischen Gleichung \[ SX + XS = 0, \] wo die \(n^2\) Coefficienten der bilinearen Form \(X\) als die Unbekannten zu betrachten sind. In \(\S\) 5 wird unter anderem der Satz bewiesen: Ist die Form \(S\) von nicht verschwindender Determinante einer alternirenden Form ähnlich, so sind auch die Lösungen der Gleichung \[ SX + XS = 0, \] deren Determinante nicht verschwindet, einer alternirenden Form ähnlich. Der analoge Satz über symmetrische Formen lautet: Ist eine Form einer symmetrischen ähnlich, so ist sie das Product zweier symmetrischen Formen, von denen wenigstens eine eine nicht verschwindende Determinante hat. \(\S\) 6 behandelt die Frage, ob und unter welchen Bedingungen das Problem der conjugirten Transformation einer bilinearen Form in sich selbst auf rationale Operationen zurückgeführt werden kann.