Ueber symmetrische Systeme. (Q1534859)

Herr Kronecker untersucht, in welche Gebiete die durch die \(\tfrac 12 n (n + 1)\) variabeln Elemente eines symmetrischen Systems \((z_{ik})\) repräsentirte \(\tfrac 12 n\; (n + 1)\)-fache Mannigfaltigkeit zerlegt wird, wenn man die Determinante \(| z_{ik}| = 0\) setzt. Durch die Benutzung zweier besonderer Arten von Systemen gelingt es, \((z_{ik})\) in der Art zu decomponiren, dass ausser jenen Arten von Systemen nur noch ein Diagonalsystem, d. h. ein solches auftritt, bei welchem ausserhalb der Diagonale nur Nullen stehen. Macht man dann in allen Gliedern des decomponirten Systems die auftretenden Constanten variabel, so lässt sich jeder Punkt \((\xi_{ik})\) der \(\tfrac 12 n (n + 1)\)-fachen Mannigfaltigkeit \((z_{ik})\) stetig und ihne Passirung der Determinanten-Mannigfaltigkeit in einen ``Hauptpunkt'' überführen, d. h. in einen solchen, für den \[ z_{11} = z_{22} = \cdots = z_{\nu \nu} = -1; \quad z_{\nu + 1, \nu + 1} = \cdots = z_{nn} = +1 \] ist, während alle übrigen Elemente \(z_{ik} = 0\) sind. In jedem der Gebiete, welche durch die Determinanten-Mannigfaltigkeit \(| z_{ik} | = 0\) von einander geschieden werden, muss daher wenigstens einer der Hauptpunkte liegen. Es liegt aber auch nur einer darin. Dies wird durch die Betrachtung einer Art von Sturm'scher Reihe bewiesen, deren Glieder durch \(| z_{ik}|\) und Hauptsubdeterminanten hiervon gebildet werden. Daraus folgt dann, dass \(| z_{ik} | = 0\) das Gebiet der \(z_{ik}\) in \(n + 1\) zusammenhängende Gebiete scheidet, deren jedes durch einen in ihm liegenden Hauptpunkt charakterisirt wird. Für ein nicht symmetrisches, aus \(n^2\) unabhängigen Veränderlichen bestehendes Gebiet kann dieselbe Frage in ähnlicher Weise durch Decomposition des Systems erledigt werden. (Vgl. das folgende Referat (JFM 21.0149.01).) Hieraus folgt, dass die \(n^2\)-fache Mannigfaltigkeit \((y_{ik})\) durch die \((n^2 - 1)\)-fache \(| y_{ik}| = 0\) in nur zwei zusammenhängende Gebiete geschieden wird, in deren einem die Determinante positiv, in deren anderem sie negativ ist.