Die Decomposition der Systeme von \(n^2\) Grössen und ihre Anwendung auf die Theorie der Invarianten. (Q1534860)

Die schon in der eben besprochenen Arbeit (siehe JFM 21.0148.01) behandelte Frage nach der Decomposition eines Systems von \(n^2\) Grössen wird hier einfach und vollständig erledigt. Die Quelle der Methode liegt in der alten Art der Auflösung linearer Gleichungen durch allmähliche Elimination einer Unbekannten nach der anderen; das Princip der Methode ist die Wahl ``einfacher'' Decomponenten-Systeme, d. h. solcher, bei welchen die Transformation sich nur auf zwei Reihen erstreckt. Die Wahl dieser Systeme unterliegt noch der Willkür; so lassen sich dann verschiedenartige einfache Systeme angeben, welche die Decomposition leisten; bei allen Zerlegungen tritt, gewissermassen als Stamm, ein Diagonalsystem auf, d. h. ein solches, in dem ausserhalb der Diagonale nur Nullen stehen, und auch dieses lässt sich noch in besondere, elementare decomponiren. Hat das vorgelegte System die Determinante 1, so stellt sich die Zerlegung besonders einfach. Die gewonnenen Resultate kann man zur Behandlung der Bedingungen benutzen, denen die Invarianten eines Systems homogener Formen von \(n\) Variabeln genügen müssen. Zuerst werden jene einzelnen elementaren Decompositions-Systeme in lineare Transformationen übersetzt. So erhält man, je nach der Wahl der Decompositions-Systeme, einmal \(n + 1\), einmal \(n\), einmal \(2n - 2\) Bedingungen der Unveränderlichkeit der Invarianten für die entsprechenden Transformationen; jedes der Bedingungssysteme weist sich als hinreichend aus. Darauf hin lässt sich, ohne Anwendung irgend welcher Symbolik, ein charakteristisches System von \(2n - 2\), bei absoluten Invarianten von \(2n - 1\), partiellen Differentialgleichungen ableiten, welches das Aronhold'sche von \(n^2\) Differentialgleichungen vollständig ersetzt, und bei dem jede einzelne Gleichung für sich eine bestimmte Eigenschaft der Invariante ausdrückt. Fasst man die Determinante von \(n^2\) Grössen als Invariante eines Systems von \(n\) linearen Formen auf, dann erhält man auch die charakteristischen Eigenschaften für sie, und so z. B. einen für die Zwecke der Determinanten-Theorie ausserordentlich geeigneten Ausdruck der Determinanten in Form \(n\)-facher Summen.