On the numbers of indivisible numbers below an arbitrary number. Determination of a lower bound. (Q1534906)

In dieser kurzen Arbeit wird eine Methode angegeben, mittels einer Tafel der unteilbaren Zahlen bis etwa 1760 die richtige Zahl von teilbaren Zahlen bis etwa 30000 zu bestimmen. Sodann wird darauf hingewiesen, wie es wohl bekannt ist, dass die betreffende Anzahl unteilbarer Zahlen abnimmt, dass aber das Gesetz dieser Abnahme unbekannt ist, und dass es ebensowenig geglückt ist, einigermassen genau die Grenzen anzugeben, zwischen denen diese Anzahl gelegen sein kann. (Man vergl. jedoch die bekannte Abhandlung von Riemann. Ges. Werke 136 ff. und die sich hieran anschliessenden Arbeiten. Red.) Doch kann eine untere Grenze hierfür wohl erhalten werden. Mit Hülfe der Reihe von Wallis findet Verfasser, dass die bezügliche Anzahl unteilbarer Zahlen bei \(n\) bestimmt grösser ist als \(\sqrt{\frac{\pi}{8}} \root4\of{\frac{1}{n}}\), und die ganze Anzahl grösser als \(\sqrt{\frac{\pi n}{2}}\), womit auch bewiesen ist, dass die Anzahl unteilbarer Zahlen zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadraten immer \(> 2\) ist. Endlich folgt noch, dass die Anzahl unteilbarer Zahlen bei \(n\) ungefähr \(\tfrac 34\) ist von der Anzahl unter \(n\).