On a special kind of continued fraction expansion of real numbers. (Q1534960)

Die hier studirte besondere Art der Entwickelung einer reellen Grösse \(x_0\) in den Kettenbruch \((a_0, a_1, a_2, \dots, a_n, x_{n + 1})\) berührt sich mit der von Hrn. Minnigerode angewandten (F. d. M. V. 1873. 105, JFM 05.0105.02) und ist dadurch charakterisirt, dass in den Gleichungen: \[ x_0 = a_0 - \frac{1}{x_1}, \quad x_1 = a_1 - \frac{1}{x_2}, \quad \cdots, \quad x_n = a_n - \frac{1}{x_{n + 1}} \] die ganze Zahl \(a_{i}\) der Bedingung \(-\tfrac 12 \leqq x_{i} - a_i < + \tfrac 12\) gemäss bestimmt ist. Dass diese Entwickelung convergirt, für rationale \(x_0\) endlich ist und für quadratische Irrationalitäten periodisch wird, ist aus früheren Sätzen des Verfassers klar. (F. d. M. XX. 1888. 201, JFM 20.0201.01). Wenn man nun das Gesetz der Näherungswerte \(p_n : q_n\) untersucht, in welcher Weise die Nenner derselben wachsen und welches der Grad der Annäherung ist, so erkennt man, welche bemerkenswerte Bedeutung in dieser Theorie der unendliche Kettenbruch \((3, 3, 3, \dots)\) hat, dessen Wert \(= \frac{1}{r}\), wenn \(r = \tfrac 12 (3 - \sqrt{5})\) die kleinere Wurzel der Gleichung \(r + \frac{1}{r} = 3\) bezeichnet. Es erweist sich nämlich merkwürdigerweise als notwendig, eine zweite Art der Kettenbruch-Entwickelung hinzuzunehmen, bei der man die unendliche Gerade der reellen \(x\) durch die Punkte \(\pm (1 - r), \pm (2 - r), \pm (3 - r), \dots\) in Intervalle teilt, und jedem \(x_i\) jedesmal diejenige ganze Zahl \(a_i\) zuordnet, welche in demselben Intervall liegt. Ist z. B. \(x_0 = (a_0, a_1, \dots, a_n, \dots)\) ein Kettenbruch erster Art, so besteht für \(q_n : q_{n - 1}\) die Entwickelung zweiter Art \((a_n, a_{n - 1}, \dots, a_2, a_1)\), und umgekehrt. Um den Uebergang zu der Theorie quadratischer Formen vorzubereiten, müssen Grössenpaare entwickelt werden. Zunächst gilt für zwei äquivalente Grössen \(x\) und \(x'\), zwischen denen eine Gleichung: \[ x' = \frac{\alpha x - \beta}{\gamma x - \delta} \quad \quad (\beta \gamma - \alpha \delta = 1) \] besteht, der aus der gewöhnlichen Theorie geläufige Satz: \[ x = (a_0, a_1, \dots, a_n, x_{n + 1}), \quad x' = (a_{0}', a_{1}', \dots, a_{m}', x_{n + 1}) \] auch für die beiden hier betrachteten Entwickelungen, jedoch mit gewissen Cautelen, wenn \(x \sim r\) ist. Wenn ferner \(x_0, y_0\) zwei verschiedene irrationale Grössen bezeichnen, wenn wieder \(a_0\) aus dem Intervall \(-\tfrac 12 \leqq x_0 - a_0 < \tfrac 12\) bestimmt wird, wenn endlich gleichzeitig \[ x_0 = a_0 - \frac{1}{x_1}, \quad y_0 = a_0 - \frac{1}{y_1} \] gesetzt wird, so soll das Paar \((x_1, y_1)\) dem Paare \((x_0, y_0)\) nach rechts benachbart heissen, und ein solches Paar soll reducirt genannt werden, wenn es gewisse geometrisch leicht fassbare Grenzbedingungen erfüllt. Ist \(x_0 \sim r\), so treten wieder besondere Schwierigkeiten auf; in jedem anderen Falle aber sind die in der Reihe \((x_0, y_0), (x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n), \dots\) auftretenden Paare von einem bestimmten ab sämtlich reducirt. Mit Hülfe dieser Sätze lässt sich die Theorie der quadratischen Formen mit positiver Determinante \(D\) und die Auflösung der Pell'schen Gleichung in ganz ähnlicher Weise wie sonst auf die vorliegenden Kettenbruch-Algorithmen gründen und erkennen, in wie weit die gewöhnlichen Sätze über die Perioden von \(\sqrt{D}\) sich bestätigen resp. modificiren.