On the complete connection between the continued fractions which express the two roots of a quadratic equation with rational coefficients (Q1534968)

Unter Zugrundelegung des Kettenbruchs: \[ \lambda_{1} + \frac{1}{\lambda_2} \dotplus \frac{1}{\lambda_3} \dotplus \cdots \dotplus \frac{1}{\lambda_i} \] nennt Herr Sylvester den letzten Näherungszähler \(u_{i} = \lambda_{i} u_{i -1} + u_{i - 2}\) eine Cumulante mit dem Typus \(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{i}\). Es bezeichne: \[ \begin{matrix} \r\quad & & & \\ t & \text{die} & \text{Reihenfolge} & \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{i - 1}, \lambda_{i},\\ t'& \text{''} & \text{''} & \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{i - 1},\\ 't & \text{''} & \text{''} & \lambda_2, \dots, \lambda_{i - 1}, \lambda_{i},\\ 't' & \text{''} & \text{''} & \lambda_2, \dots, \lambda_{i - 1},\\ \underline{t} & \text{''} & \text{''} & \lambda_i, \lambda_{i - 1}, \dots, \lambda_{2}, \lambda_{1},\\ \overline{t} \text{ endlich} & \text{''} & \text{''} & - \lambda_1, - \lambda_2, \dots, - \lambda_{i - 1}, - \lambda_{i},\end{matrix} \] ferner bedeute \(\theta t\) die Aufeinanderfolge zweier Typen \(\theta\) und \(t\); \(\theta 0 t\) bedeutet alsdann einen Typus, der zwischen den Typen \(\theta\) und \(t\) eine Null hat; \(\theta (0t)^{\nu} \tau\) ist ein Typus, welcher zusammengesetzt ist aus \(\theta\), dem \(\nu\)-fach wiederholten Typus \(0t\), endlich dem Typus \(\tau\). Nach diesen Vorbereitungen wird der folgende Satz verständlich sein: Die beiden Wurzeln einer quadratischen Gleichung können gleichzeitig und eindeutig durch die Formen \[ (\theta t (0t)^{\infty}) \quad \text{und}\quad -(\overline{\theta} \underline{t} (0\underline{t})^{\infty}) \] dargestellt werden, wobei alle Elemente von \(\theta\) (mit Ausnahme des letzten, welches Null sein kann) und von \(t\) positiv sind. Z. B. die Gleichung \(23 x^2 - 68x + 50 = 0\) hat die Wurzeln \[ \begin{aligned} & \frac{34 - \sqrt{6}}{23}, \quad \frac{34 + \sqrt{6}}{23}\cdot \quad \text{Hier ist} \; \theta = 1,2 ; \quad t = 1, 2, 3.\\ & \frac{34 - \sqrt{6}}{23} = (\theta t (0t)^{\infty}) = (1, 2, 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, \dots);\\ & \frac{34 + \sqrt{6}}{23} = - (\overline{\theta} \underline{t} (0\underline{t})^{\infty}) = - (- 1, - 2, 3, 2, 1, 0, 3, 2, 1, 0, \dots);\end{aligned} \] beide Brüche müssen nach Dirichlet'scher Methode in regelmässige Kettenbrüche verwandelt werden. Ein Typus soll omni-positiv oder omni-negativ heissen, wenn alle Elemente positiv resp. negativ sind; gemeinsamer Name für beide ist homonymer Typus. Die Null als amphibolische Zahl soll beiden Typen zugesetzt werden können, ohne dass sie aufhören, homonym zu sein. Dadurch lassen sich die beiden Wurzeln einer quadratischen Gleichung in die Formen: \[ x = (t\tau^{\infty}), \quad x' =(t0\,\underline{\overline{\tau}}^{\infty}) \] zusammenziehen, wo \(t\) und \(\tau\) homonyme Typen sind. Herr Sylvester weist darauf hin, dass sich ihm die zuletzt aufgestellten Begriffe auch anderweitig als fruchtbar erwiesen haben, und verspricht, diese Untersuchungen mit der Pell'schen Gleichung in Zusammenhang zu bringen.