On the value of a finite and a purely periodic continued fraction (Q1534969)

Der Wert des rein periodischen unendlichen Kettenbruchs \((t^{\infty})\) ist die positive Wurzel der Gleichung \[ ['t] x^2 - ([t] - ['t'])\; x - [t'] = 0, \] wobei durch \([\theta]\) die Cumulante des Typus \(\theta\) bezeichnet ist. Hiervon ausgehend, kann man den Wert des endlichen rein periodischen Kettenbruchs \((t^n)\) zu bestimmen suchen. In der voranstehenden Abhandlung (JFM 21.0193.01) hatte der Verfasser schon eine Formel mitgeteilt, welche die Cumulante eines aus \(i\) partiellen Typen zusammengesetzten Typus als Summe von \(2^{i - 1}\) Producten der \(i\) partiellen Cumulanten und ihrer einfachen und doppelten Ableitungen darstellt. Mit Hülfe dieser Formel lässt sich die vorliegende Frage direct angreifen und auf die Entwickelung des Bruches: \[ \frac{k}{1 - (a + c)\; k - \varepsilon k^2} \] nach Potenzen von \(k\) zurückführen; hierin ist \[ a = [t], \quad c = ['t'], \quad \varepsilon = (-1)^{\mu}. \] Setzt man alle Elemente des Typus \(t\) gleich 1, so kann man als Corollar einige auf die bekannte, von Herrn Sylvester ``phyllotaktisch'' getaufte Reihe der Schimper'schen Zahlen \(1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots\) bezügliche Sätze herleiten.