On an arithmetical theorem in periodic continued fractions. (Q1534970)

Der Verfasser bezeichnet den Inhalt seiner Note mit folgenden Worten: Die wohlbekannte Gestalt eines Kettenbruches für die Quadratwurzel aus \(N\), einer ganzen Zahl, ist: \[ (a; b, c, d, \dots, d, c, b, 2a; b, c, d, \dots, d, c, b, 2a; \dots). \] Wenn wir den ``Typus'' \(a, b, c, d, \dots, d, c, b, a\) mit \(t\) bezeichnen, kann sie in der bequemeren Form geschrieben werden: \[ (t, 0, t, 0, t, 0, \dots). \] Brauchen wir nun das Zeichen \([t]\), um die Cumulante zu bezeichnen, von welcher \(t\) der Typus ist, ferner \([t']\) und \(['t']\) bezw., um die Cumulanten der Typen zu bezeichnen, die durch Wegschneiden von \(a\) an einem Ende und an beiden Enden von \(t\) entstehen, so lässt sich leicht zeigen, dass, welche Zahlen auch immer \(a, b, c, \dots\) darstellen, der Wert des Kettenbruches \(\{(t, 0)^{\infty}\}\) gleich \(\sqrt{\frac{[t]}{['t']}}\) ist, so dass, wenn \(\{(t, 0)^{\infty}\}\) die Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl darstellt, \([t]\) durch \(['t']\) teilbar sein muss. Bringt man \(t\) in die Gestalt \(a, \tau, a\), so besteht nach einer Bemerkung des Herrn Bickmore die notwendige und ausreichende Bedingung dafür, dass \(\{(a, \tau, a, 0)^{\infty}\}\) der Anforderung genügt, die Quadratwurzel aus einer ganzen Zahl zu sein, in der Congruenz \[ 2a \equiv (-1)^{\mu} [\tau']\; ['\tau'] \quad (\text{mod.} [\tau]), \] wo \(\mu\) die Anzahl der Elemente in \(\tau\) bedeutet.