On a problem in probability recently treated by Prof. Mujer. (Q1534996)

Herr Cesáro (La rottura del diamante, Batt. G. XXIV. 124-7; F. d. M. XVIII. 1886. 173, JFM 18.0173.02) berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich genommenes Dreieck spitzwinklig sei, dadurch, dass er jedem möglichen Winkeltripel mit der Summe \(\pi\) das Tripel der Abstände eines inneren Punktes von den Seiten eines gleichseitigen Dreieckes \(\varDelta\) zuordnet (die Summe dieser Abstände ist constant). Es entsteht auf diese Weise eine gegenseitig eindeutige Correspondenz zwischen allen möglichen Dreiecksformen und allen inneren Punkten von \(\varDelta\); und ein Dreieck ist spitzwinklig oder stumpfwinklig, je nachdem der zugeordnete Punkt innerhalb oder ausserhalb des von den Verbindungslinien der Mittelpunkte der Seiten von \(\varDelta\) gebildeten Dreieckes \(\varDelta '\) liegt. Hieraus folgt, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(\tfrac{1}{4}\) ist. Dieses Verfahren wird von Herrn Murer (siehe JFM 21.0205.02) folgendermassen verallgemeinert. Er bemerkt, dass zwei Winkel eines \(n\)-Eckes notwendig kleiner als \(R' = \frac{\pi (n - 2)}{n - 1}\) sind, und dass man als Analogon zum rechtwinkligen Dreiecke dasjenige \(n\)-Eck betrachten kann, welches \(n - 2\) Winkel \(= R'\) besitzt. Indem er sich dann insbesondere mit dem Vierecke beschäftigt (in welchem Falle \(R' = 120^{\circ}\)), findet er die acht folgenden Möglichkeiten für die Grössen der zwei grösseren Winkel: \[ \begin{aligned} & 1.\quad > 2 R',\;< R';\\ & 2.\quad = 2R',\;< R';\\ & 3.\quad > R',\;> R';\\ & 4.\quad > R',\;= R';\\ & 5.\quad > R',\;< R';\\ & 6.\quad = R',\;= R';\\ & 7.\quad = R',\;< R';\\ & 8.\quad < R',\;< R'.\end{aligned} \] Zur Auffindung der Wahrscheinlichkeit der verschiedenen Typen ordnet der Verfasser den vier Winkeln eines Viereckes die vier Abstände eines inneren Punktes eines regulären Tetraeders von dessen Seitenflächen zu. Jedem der Typen 1, 3, 5, 8 entspricht ein dreidimensionaler, jedem der Typen 2, 4, 7 ein zweidimensionaler, endlich dem Typus 6 ein eindimensionaler Raum. Durch Berechnung der Inhalte der Räume, welche den Typen 1, 3, 5, 8 entsprechen, ergiebt sich, dass die Wahrscheinlichkeit für diese Typen bezw. \(\tfrac{4}{27}, \tfrac{6}{27}, \tfrac{16}{27}\) und \(\tfrac{1}{27}\) ist. Für die Typen 2, 4, 6, 7 ist die Wahrscheinlichkeit natürlich gleich Null. Nichtsdestoweniger will der Verfasser mit Wahrscheinlichkeiten von dieser Beschaffenheit Rechnungen anstellen. Es möge hier ein Beispiel Platz finden, welches wir, der Einfachheit halber, aus dem Probleme der Dreiecke entnehmen. Die rechtwinkligen Dreiecke werden, bei der oben besprochenen Correspondenz, durch die Punkte der Seiten \(S'\) von \(\varDelta'\), die gleichschenkligen durch die Punkte der Höhen \(H\) von \(\varDelta\) dargestellt; hieraus folgert Herr Murer, dass die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Dreieck rechtwinklig oder dass es gleichschenklig sei, sich wie 1 zu \(\sqrt{3}\) verhalten. Herr Giudice bemerkt, dass, wenn man mit einer unendlichen Menge von möglichen Fällen zu thun hat, es nötig ist, sich vorerst über den Sinn des Wortes ``Wahrscheinlichkeit'' zu verständigen (vgl. auch Bertrand, Calcul des Probabilités, Paris 1889, Cap. I). Sind, wie im Probleme von Herrn Cesáro, \(x, y, z\) drei Grössen von constanter Summe (die Abstände eines inneren Punktes von den drei Seiten von \(\varDelta\)), und bezeichnet man durch \(p\) diese Constante, so kann man zunächst nur diejenigen Punkte (Gitterpunkte \(G_{n}\)) betrachten, für welche die Grössen \(x, y, z\) ein gemeinschaftliches Mass von der Form \(\frac{p}{n}\) besitzen; indem \(n\) unbeschränkt zunimmt, wird das Verhältnis der Anzahlen der in irgend zwei Teilflächen enthaltenen Gitterpunkte das Verhältnis der Inhalte der Flächen als Grenze haben (Dirichlet, Recherches sur diverses applications de l'analyse infinitésimale à la théorie des nombres, J. für Math. XIX, XXI, und Vorlesungen über Zahlentheorie, III. Aufl. \(\S\) 120); man verfahre folglich ganz richtig, wenn man die Grösse einer Teilfläche als Ausdruck der Wahrscheinlichkeit der durch ihre Punkte bezeichneten Möglichkeiten annimmt, vorausgesetzt nur, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit als die Grenze für \(n = \infty\) derjenigen Wahrscheinlichkeit angesehen werde, die sich ergiebt, wenn man nur die durch die Punkte \(G_n\) dargestellten Fälle als möglich betrachtet (das stimmt mit: Czuber, Geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte, Leipzig 1884, überein). Herr Giudice zeigt durch ein Beispiel, dass man zu ganz verschiedenen Resultaten gelangt, wenn man eine solche Correspondenz zu Grunde legt, dass die Verteilung der Gitterpunkte in der Ebene nicht gleichförmig ist. -- Was das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten für ein rechtwinkliges und für ein gleichschenkliges Dreieck betrifft, so kann man nicht schlechtweg als solches das Verhältnis der Längen \(S', D\) annehmen; denn der Dirichlet'sche Satz gilt nicht mehr für die im betrachteten zweidimensionalen Raume liegenden Linien. Durch genauere Betrachtung ergiebt sich, dass die Anzahlen der auf \(S'\) und auf \(H\) fallenden Gitterpunkte sich für \(n = \infty\) wie 1 zu 2 verhalten; und dieses ist, nach Herrn Giudice, der Wert des gesuchten Wahrscheinlichkeitsverhältnisses. Herr Frattini (siehe JFM 21.0206.01) bezeichnet diese Rechnungen mit Grössen, deren Wert gleich Null ist, als illusorisch, und Referent ist mit ihm, wenigstens was die wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation der Resultate betrifft, vollkommen einverstanden. Aus Hrn. Murer's Arbeit entnehmen wir noch Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Viereck convex sei, ist \(\tfrac 12\). Sind \(a_1, a_2, \dots , a_{n}\) die Seiten eines \(n\)-Eckes, dessen \(n - 2\) Winkel \(\widehat{a_1 a_2}, \widehat{a_2 a_3}, \dots , \widehat{a_{n-2} a_{n-1}}\) sämtlich gleich \(R'\) sind, und setzt man \[ \pi - R' = \frac{\pi}{n - 1} = \alpha , \] so gilt die folgende Formel, welche den pythagoreischen Lehrsatz als besonderen Fall \((n = 3, \; R' = \alpha = \tfrac 12 \pi )\) enthält: \[ \begin{multlined} a_n^2 = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{n-1}^2 + 2\; (a_1 a_2 + a_2 a_3 + \cdots a_{n-2} a_{n-1})\; \cos \alpha\\ + 2\; (a_1 a_3 + a_2 a_4 + \cdots + a_{n-3} a_{n-1}) \cos 2\alpha\\ + 2\; (a_1 a_4 + a_2 a_5 + \cdots + a_{n-4} a_{n-1})\; \cos 3\alpha + \cdots + 2a_{1} a_{n-1} \cos (n - 2) \alpha.\end{multlined} \] Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Winkel eines \(n\)-Ecks \(< R'\) seien, ist \(\frac{1}{(n - 1)^{n-1}}\).