Note on the series \(\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}\). (Q1535064)

Der Verfasser definirt die früher (Académie des Sciences de Stockholm 1888) durch \(\zeta (s, x)\) bezeichnete Function \(\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^s}\) für beliebige Werte von \(s\) und \(x\), indem er für \(1 : n^{s}\) das bekannte Integral einsetzt. Auf Grund dieser Darstellung beweist er die Formel: \[ \zeta (s, x) + e^{2\pi i s} \zeta \left(s, \frac{1}{x} \right) = -e^{\frac{i\pi}{2}s}(2\pi)^{s} \chi \left( s, \frac{\log x}{2i\pi} \right), \] welche als besonderen Fall die früher von ihm abgeleitete enthält. Hierin bedeutet \(\chi (s, x)\) gleichfalls eine Verallgemeinerung der Bernoulli'schen Function, welche der Herr Verfasser, ebenso wie \(\zeta (s, x)\), durch ein Integral definirt und in die Form \[ - \frac{1}{\varGamma (s)}\;\sum_{r = 0}^{\infty}\;\frac{1}{(r + x)^{1 - s}} \] überführt. Schliesslich zeigt er, dass zwischen den Functionen \(\chi\) und \(\zeta\) die Gleichung besteht: \[ \chi (s, 1 - x) = e^{-i \pi s} \chi (s, x) - 2i (2\pi)^{-s} e^{\frac{-i\pi}{2}} \sin \pi s. \zeta (s, e^{i \pi x}). \]