Ueber einen Mittelwertsatz. (Q1535091)

Es wird der Satz bewiesen, welchen die Formel ausdrückt: \[ \frac{\varSigma a_k \varphi(x_k)}{\varSigma a_k} > \varphi \; \left(\frac{\varSigma a_k x_k}{\varSigma a_k} \right) \quad \quad (k = 1, 2, \dots, n) \] (Bedingung ist, dass alle \(a_k\) positiv sind, und \(\varphi (x)\) im Bereiche der vorkommenden Argumente nie unendlich wird), und daraus die Gleichung abgeleitet: \[ \varSigma a_{\nu} \varphi(x_\nu) - (\varSigma a_\nu) \varphi \; \left( \frac{\varSigma a_\nu x_\nu}{\varSigma a_\nu} \right) = \tfrac 12 M\;\frac{\varSigma a_\nu a_\mu (x_\nu - x_\mu)^2}{\varSigma a_\nu} \] \[ (\nu = 1, 2, \dots, n; \quad \mu = 1, 2, \dots, n), \] wo \(M\) einen Mittelwert von \(\varphi''(x)\) bedeutet. Die Einsetzung specieller Functionen \(\varphi(x) = x^m\), \(e^x\), \(\sin x\), \(\text{tg\,} x\) führt zu einigen bekannten Resultaten. Aus einer Specialisirung geht ferner der Satz hervor: Wenn für positive \(x_1, x_2, \dots\) die Summe \[ \sum_{\nu = 1}^{\nu = \infty} x_{\nu}^{m} \quad \quad (m>1) \] convergirt, so convergirt auch die Summe \[ \sum_{\nu = 1}^{\nu = \infty} x_\nu \nu^{- \frac{m - 1}{m} - \varrho}\; \text{ für } \; \varrho > 0. \] Der Beweis dafür schliesst den Aufsatz.