Zur Theorie des gewöhnlichen Maximums und Minimums. (Q1535099)

Das bekannte Kriterium für die Existenz des absoluten Maximums oder Minimums dehnt Verfasser auf das relative aus und gelangt zu dem Satz: Es seien \(f, \varphi_1, \dots, \varphi_r\) gegebene Functionen der \(n + r\) Variabeln \(x_1, \dots, x_{n + r}\) und \(a_1, \dots, a_{n + r}\) irgend ein den Gleichungen \(\varphi_1 = \varphi_2 = \cdots = \varphi_r = 0\) genügendes Wertsystem dieser Variabeln, in dessen Umgebung die Functionen \(f, \varphi_1, \dots, \varphi_r\) sich regulär verhalten, und für welches nicht jede der Determinanten \(\varSigma \pm \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_{\alpha}} \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_{\beta}} \cdots \frac{\partial \varphi_r}{\partial x_{\varrho}}\) verschwindet. Wenn dann für diese Werte die erste der Variationen von \(f\), welche infolge der Bedingungsgleichungen \[ \delta \varphi_{\varrho} = 0, \quad \delta^2 \varphi_{\varrho} = 0, \dots \quad (\varrho = 1, \dots, r) \] nicht identisch verschwindet, für alle solche reellen Wertsysteme der Variabeln \(\delta x_k, \delta^2 x_k, \dots (k = 1, \dots, n + r)\), welche diesen Bedingungsgleichungen genügen, definit ist, so ist \(f(a_1, \dots, a_{n + r})\) ein Maximum oder Minimum mit Rücksicht auf die Bedingungsgleichungen. Ferner wird bewiesen: Wenn die zweite Variation, nicht aber die dritte, einer Function \(F\) für \(x_h = a_h\) identisch verschwindet und die Bedingungsungleichheiten \(\psi_k \geqq 0\) \((k = 1, \dots, n)\) bestehen, so giebt das betreffende Wertsystem ein wirkliches Maximum resp. Minimum oder nicht, je nachdem \[ \delta^3 F = \sum^n_1{}_h \sum^n_1{}_i\sum^n_1{}_k\,F''' (a_h, a_i, a_k) \; \delta x_h \delta x_i \delta x_k \] durch die \(n\) Bedingungen \(\sum^n_1{}_h \psi_k' a_h \delta x_h = (\delta u_k)^2\) eine definite oder eine indefinite Function von \(\delta u_1, \dots, \delta u_n\) wird, worin \(2 \psi_k - u_k^2 = 0\) ist. Die so gewonnene Theorie wird an der Aufgabe erläutert: Gegeben sind in der Ebene eine Gerade und zwei nach derselben Seite auf ihr errichtete, unbegrenzte Lote. Man soll die letzteren durch einen, über keine der drei gegebenen Geraden hinaustretenden Kreisbogen so verbinden, dass eine Figur von gegebenem Umfange und grösster Fläche entsteht. Bei der Behandlung dieser Aufgabe tritt gerade die Bedeutung der Ungleichheiten recht deutlich zu Tage.