Ueber die Maxima und Minima impliciter Functionen und die Reciprocitätsgesetze in der Theorie des gewöhnlichen Maximums und Minimums. (Q1535100)

Bestehen zwischen den \(n+1\) Variabeln \(x_0, x_1, \dots , x_n\) von einander unabhängige Bedingungsgleichungen \[ \varphi_{0} = 0, \quad \varphi_{1} = 0, \dots , \varphi_{r} = 0 \quad \quad (r<n), \] in denen neben diesen Variabeln noch wenigstens ein unbestimmter Parameter \(y_0\) vorkommt, so besteht zwischen der Lösung der Aufgabe, dass \(x_0\) ein Maximum resp. Minimum erreicht für ein constantes \(y_0\), und der reciproken, dass \(y_0\) ein Maximum oder Minimum erreicht für ein constantes \(x_0\), eine einfache Beziehung, vorausgesetzt, dass in der ersten Aufgabe der Wert \(x_0 = X_0 (y_0)\), den \(x_0\) hierin annimmt, nicht unabhängig von \(y_0\) ist, und dass in der zweiten für \(y_0\) der aus der eben erwähnten Gleichung resultirende Wert \(y_0 = Y_0 (x_0)\) gesetzt wird. Ist dann \(x_0\) kein Maximum resp. Minimum der ersten Aufgabe, so ist es auch \(y_0\) nicht in der zweiten; ist \(x_0\) Maximum resp. Minimum, so ist \(y_0\) Maximum resp. Minimum resp. Maximum, je nachdem \(\frac{\partial X_0}{\partial y_0}\) negativ oder positiv ist. Dieser allgemeine Reciprocitätssatz wird alsdann specialisirt für inverse Functionen und die isoperimetrischen Probleme.