Some examples of the solution of a special kind of problems de maximis et minimis (Q1535101)

Es sind folgende Aufgaben gelöst: {I.} Zwischen zwei gegebenen Punkten \(A\) und \(B\) die kürzeste Curve zu führen, die folgenden zwei Bedingungen genügen muss: 1) der Krümmungsradius der Curve darf nicht kleiner als eine gegebene Grösse \(\varrho\) sein, 2) im Punkte \(A\) soll die Tangente der Curve eine bestimmte Richtung \(AC\) haben. {II.} Es sind gegeben die Richtungen zweier geraden Wege \(AB\) und \(CD\); diese Wege sollen durch eine Curve (courbe de raccordement) vereinigt werden unter folgenden Bedingungen: {1)} Die gesuchte Curve \(XMY\) soll in dem einen Ende die Gerade \(AB\), in dem anderen die Gerade \(CD\) berühren. {2)} Die Krümmung der Curve soll im Anfangs- und Endpunkt gleich Null sein; in anderen Punkten aber darf sie nicht eine gegebene Zahl \(\frac{1}{\varrho}\) übersteigen. {3)} Die Derivirte der Krümmung nach dem Bogen darf nicht auf der ganzen Curve grösser als eine andere gegebene ganze Zahl \(g\) sein. {4)} Die anfängliche Richtung der Bewegung in der Curve \(XY\) muss mit \(AB\), und die Endrichtung mit \(CD\) übereinstimmen. Diese Aufgabe hat eine Anwendung in der Praxis bei den Eisenbahnen; als eine Annäherung bei hinreichend kleinen Werten von \(\frac{1}{2g \varrho^{2}}\) erhält man eine Parabel dritten Grades als einen Teil der gesuchten Curve. Die Abhandlung schliesst mit der Auflösung zweier ähnlichen Aufgaben. (Vergl. Abschnitt VI, Cap. 7 (JFM 21.0383.02)).