Ueber die angenäherten Ausdrücke der Quadratwurzel durch einfache Brüche. (Q1535121)

Bei der Berechnung der Quadraturen ersetzt man oft die Functionen, welche der Integration widerstreben, durch angenäherte Ausdrücke. In der Abhandlung des Hrn. Tschebyscheff wird die Aufgabe gelöst, die Wurzel \(\sqrt{\frac{1}{x}}\) durch die Function \[ A + \frac{B_1}{C_1 + x} + \frac{B_2}{C_2 + x} + \cdots + \frac{B_n}{C_n + x} \] so zu ersetzen, dass das Verhältnis zwischen diesen beiden Functionen in dem Intervalle von \(x = 1\) bis \(x = h\) sich so wenig wie möglich von 1 entfernt. Die Lösung der Aufgabe wird in der Formel gegeben: \[ (1) \quad \sqrt{ \frac{1}{x}} = C^{1 - 2\theta} \left[ A + \frac{B_1}{C_1 + x} + \frac{B_2}{C_2 + x} + \cdots + \frac{B_n}{C_n + x} \right], \] wo \(0< \theta < 1\), \[ C = 1 - 16 q^{2n + 1} \left( \frac{1 + q^{4n + 2} + q^{12n + 6} + \cdots}{ 1 + q^{2n + 1} + q^{6n + 3} + \cdots} \right)^2, \] \[ q = e^{- \pi \frac{J_1}{J_2}}, \;\text{wo} \;J_1 = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x (1 - x) (h - x)}}, \quad J_2 = \int_1^h \frac{dx}{\sqrt{x (1 - x)(h - x)}}. \] Die Grössen \(A, B_1, B_2, \dots, B_n, C_1, C_2, \dots, C_n\), welche in diese Formel eingehen, lassen sich durch elliptische Functionen vom Modul \(k = \sqrt{1 - \frac{1}{h}}\) ausdrücken, und wenn man diese Ausdrücke der Grössen \(A, B_1, \dots, B_n, C_1, \dots, C_n\) in die Formel (1) einsetzt, so erhält man \[ \sqrt{\frac{1}{x}} = \frac{\varSigma \frac{\sqrt{h} .\text{\,dn} \frac{2m K}{2n + 1}}{x. \text{\,sn}^2 \frac{2m K}{2n + 1} + h \text{\,cn}^2 \frac{2m K}{2n' + 1}}}{C^{2 \theta} \varSigma \text{\,dn\,} \frac{2m K}{2n + 1}}. \] Diese Formel wird dann zur Ableitung der Formel angewandt, welche Grenzwerte des Integrals \(\int \frac{U}{\sqrt{V}}\,du\) für den Fall giebt, wo die Functionen \(U\) und \(V\) zwischen den Integrationsgrenzen positiv bleiben. Wenn man nämlich mit \(M, M_0 < M\) die Grenzen der Werte der Function \(V\) bezeichnet und \(h = \frac{M}{M_0}\) setzt, so hat man die angenäherte Formel: \[ \int \frac{Udu}{\sqrt{V}} = \frac{1}{C^{2 \theta}} [F (0) + 2F(s_1) + 2F(s_2) + \cdots + 2f(s_n)]; \] hier ist \[ F(s) = \frac{\sqrt{M} . \sqrt{1 - k^2 s^2}}{S} \int \frac{Udu}{\sqrt{s^2 + M (1 - s^2)}}\,, \] \[ s_m = \text{sn\;} \frac{2m K}{2n + 1}, \] \[ S = 1 + 2\sqrt{1 - k^2 s_1^2} + 2 \sqrt{1 - k^2 s_2^2} + \cdots + 2 \sqrt{1 - k^2 s_n^2}. \] Aus dieser allgemeinen Formel erhält man z. B. \[ \int_{0}^{u} \frac{du}{\sqrt{1 - \lambda^2 \sin^2 u}}= \frac{1}{C^{2 \theta}} \left[ 0,3933195 u + \frac{0,6066804 \text{\,arctg\,} (\sqrt{1 - 0,8104007 \lambda^2 . \text{\,tang\,} u})}{\sqrt{1 - 0,8104007 \lambda^2}} \right] \] und eine ähnliche angenäherte Formel für das Integral \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\text{tang}^{p - 1} u. du}{\sqrt{1 - \lambda^2 \sin^2 u}}, \quad \text{wenn} \quad \lambda\overset{=} < \sqrt{\tfrac 12}. \]