Bemerkungen über die Darstellung von Reihen durch Integrale. (Q1535122)

Der Herr Verfasser leitet mit Hülfe des Cauchy'schen Integralsatzes eine Reihe von bemerkenswerten Summenformeln ab, von denen hier die hauptsächlichsten angegeben seien. Man betrachte in der Ebene der complexen Veränderlichen \(z = x + iy\) das Rechteck \(x = -x_0\), \(x = + x_0\), \(y = - y_0\), \(y = + y_0.\) Ist die Function \(\cos z \pi . f (z)\) im Innern und auf dem Rande des Rechteckes regulär und \(x_0\) keine ganze Zahl, so hat man \[ \varSigma f(k) = \frac{1}{2 \pi i} \int \pi \text{cot} z \pi f(z) dz, \] wo das Integral positiv durch die Begrenzung des Rechteckes zu erstrecken ist und \(k\) alle ganzen Zahlen zwischen \(- x_0\) und \(+ x_0\) durchläuft. Es wird besonders der Grenzfall \(x_0 = \infty\) hervorgehoben. Die Betrachtung des Integrales \(\frac{1}{2 \pi i} \int \frac{\pi \text{cot} \zeta \pi}{\zeta - z} f(\zeta) d \zeta\) ergiebt die Gleichung \[ \pi \text{cot\,} z \pi f (z) = \lim_{n = \infty} \sum_{k = -n}^{k = + n}\;\frac{f(k)}{z - k} \] unter der Voraussetzung, dass das über einen unendlich grossen Kreis mit dem Mittelpunkt \(z = 0\) erstreckte Integral verschwindet, und dass \(\text{cot\,} \zeta \pi f(z)\) nur für ganzzahlige \(z\) unstetig wird. Diese Voraussetzung ist z. B. für \[ f(z) = \frac{e^{2 (v - 1)z i \pi}}{2 \cos z \pi} \] erfüllt, falls \(v\) eine reelle zwischen 0 und 1 liegende Grösse bezeichnet. Die erwähnte Gleichung geht dann in eine bemerkenswerte von Herrn Lipschitz angegebene Formel über, welche, wie der Herr Verfasser zeigt, auch unmittelbar aus der Theorie der Fourier'schen Reihen folgt. Erstreckt man das Integral \(\frac{1}{2 \pi i} \int \pi \text{cot\,} z \pi f(z) dz\) um ein Rechteck \(x = x_0, \; x = x_1 > x_0, \; y = y_1, \; y = - y_1\), aus welchem jedoch Halbkreise mit dem Radius \(y_0\) und den Mittelpunkten \(z = x_0\) und \(z = x_1\) ausgeschieden sind, so findet man, falls man \(y_0\) in Null übergehen lässt, die Gleichung \[ \tfrac 12 \sum_k f (k) + \tfrac 12 \sum_{k'} f(k') = \frac{1}{2 \pi i} \int \pi \cot z \pi f(z) dz, \quad (x_0 < k < x_1; \;x_0 \leqq k' \leqq x_1) \] unter der Annahme, dass \(\text{cot\,} z \pi f(z)\) in dem genannten Rechteck nur für ganzzahlige \(z\) unstetig wird. Das Integral lässt sich nun unter besonderen Voraussetzungen weiter umformen. So ergiebt sich z. B., wenn \[ \lim_{y = \infty} \int_{x_0}^{x_1} \varSigma_{\varepsilon}\;\frac{f (x + \varepsilon y i) dx}{e^{2(y - \varepsilon xi) \pi} - 1} = 0 \qquad (\varepsilon = + 1, - 1) \] ist, die Gleichung \[ \tfrac 12 \varSigma f (k) + \tfrac 12 \varSigma f (k') - \int_{x_0}^{x_1} f (x) dx= i \int_{0}^{\infty} \varSigma_{\alpha, \varepsilon} (-1)^{\alpha} \cdot \frac{\varepsilon f (x_{\alpha} + \varepsilon y i)dy}{e^{- 2 \varepsilon i \pi (x_{\alpha} + \varepsilon y i)} - 1} \quad \left(\begin{aligned} & \alpha = 0, 1\\ & \varepsilon = + 1, -1 \end{aligned}\right), \] welche eine besonders einfache Gestalt annimmt, wenn \(x_0\) und \(x_1\) ganzzahlige Werte besitzen. Von diesen Formeln macht nun der Herr Verfasser mehrere Anwendungen, unter anderem auf die Wertbestimmung der Gauss'schen Reihen und auf die Verallgemeinerung der oben erwähnten Formel des Herrn Lipschitz. Den Beschluss bilden einige litterarische Notizen, nach welchen Cauchy, Plana, Abel und Schlömilch die entwickelten Formeln zum Teil schon aufgestellt haben, ohne indessen ihre Gültigkeitsgrenzen genau zu bestimmen.