On the functions defined by differential equations, with an extension of the Puiseux polygon construction to these equations. (Q1535148)

Für die Differentialgleichung \[ f(x, y, p) = \varSigma A_{i} x^{\alpha_{i}} y^{\beta_{i}} p_{\gamma_{i}} = 0 \quad \quad \left( p = \frac{dy}{dx} \right) \] ohne absolutes Glied haben Briot und Bouquet in ihren berühmten Untersuchungen (J. de l'Éc. Polyt. cah. XXXVI) Methoden angegeben zur Entwickelung aller monodromen Lösungen mit den Anfangswerten \(x = 0\), \(y=0\), für die zugleich \(p\) verschwindet. Um jedoch von vorn herein auch die monodromen Lösungen mit denselben Anfangswerten zu berücksichtigen, für die \(p\) von Null verschieden (endlich oder unendlich) wird, erscheint es zweckmässig, an der Differentialgleichung selbst eine Bestimmung aller möglichen Gruppen von Gliedern niedrigster Dimension vorzunehmen. Zu dem Ende wird jedem Gliede \(A_{i} x^{\alpha_{i}} y^{\beta_{i}} p^{\gamma_{i}}\) ein Punkt mit den Coordinaten \(\xi_{i} = \alpha_{i} - \gamma_{i}\), \(\eta_{i} = \beta_{i} + \gamma_{i}\) in der \(\xi \eta\)-Ebene zugeordnet. Die Punkte sind die Ecken eines nach dem Puiseux'schen Verfahren zu construirenden Polygons, und zwar liegen, wenn \(\mu\) der Grad von \(y\) in Beziehung auf \(x\) ist, für welchen 2 Glieder \(A_1 x^{\alpha_{1}} y^{\beta_{1}} p^{\gamma_{1}}, \; A_{2} x^{\alpha_{2}} y^{\beta_{2}} p^{\gamma_{2}}\) von gleicher und niedrigster Dimension sind, alle die Glieder derselben niedrigsten Dimension repräsentirenden Punkte auf der die Punkte \((\xi_{1} \eta_{1})\) und \((\xi_{2} \eta_{2})\) verbindenden Geraden, während alle anderen Punkte auf der dem Coordinatenursprung abgewandten Seite der Geraden liegen. Die Gleichung \(\xi_{1} + \mu \eta_{1} = \xi_{2} + \mu \eta_{2}\) liefert den entsprechenden Grad \(\mu\). Die Entwickelungen, entsprechend einer Polygonseite, für welche \(\mu > 1\), werden durch die Briot-Bouquet'schen Methoden angegeben; durch eine Vertauschung der Variabeln erhält man die einer Seite, für welche \(\mu < 1\), zugehörigen Entwickelungen, die Substitution \(y = vx\) führt für den Fall \(\mu = 1, f = 0\) auf die reguläre Briot-Bouquet'sche Form zurück. Die vorstehende Methode wird ausgedehnt auf die Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \[ \varSigma A_{i} x^{\alpha_{i}} y^{\beta_{i}} y_{1}^{\gamma_{i}} \dots y_{n}^{\nu_{i}} = 0 \quad \quad \left( y_{k} = \frac{d^{k}y}{dx^k}\right) \] ohne absolutes Glied. Als Ecken des hier zu construirenden Polygons dienen die Punkte mit den Coordinaten \[ \xi_{i} = \alpha_{i} - \gamma_{i} - 2\delta_{i} - \cdots - n\nu_{i}, \quad \eta_{i} = \beta_{i} + \gamma_{i} + \delta_{i} + \cdots + \nu_{i}, \] entsprechend den Gliedern \(A_{i} x^{\alpha_{i}} y^{\beta_{i}} \dots y_{n}^{\nu_{i}}\). Da die Fälle \(\mu = \text{oder} < n\) auf den Falle \(\mu > n\) durch einfache Transformationen zurückzuführen sind, so handelt es sich nur um die Entwickelungen entsprechend einer Polygonseite, für welche \(\mu > n\), also ausser \(y\) alle Differentialquotienten \(y_{1}, \dots , y_{n}\) mit \(x\) verschwinden. Hierzu dienen die Substitutionen \[ y_{n - 1} = y_{n} v_{1} x, \quad y_{n - 2} = y_{n} v_{1} v_{2} x^2, \dots , y = y_{n} v_{1} v_{2} \dots v_{n} x^{n}. \] In der resultirenden Gleichung werden die verschiedenen Gruppen von Gliedern niedrigster Dimension in \(y_{n}\) und \(x\) bestimmt. Ist für eine solche Gruppe \(y_{n}\) vom Grade \(r:s\), so setzt man \(x = x'^{s}\), \(y_{n} = Vx'^{r}\), und es finden sich als Wert der \(v\) für \(x = 0\) \[ v_{1}^{0} = \frac{s}{r + s}, \quad v_{2}^{0} = \frac{s}{r + 2s}, \dots, \quad v_{n}^{0} = \frac{s}{r + ns}\,. \] \(V\) lässt sich nach ganzen positiven Potenzen von \(x', v_{1}', \dots, v_{n}',\) wo \(v_i' = r_i - v_i^0\), entwickeln, und mit Hülfe dieser Function erhält man das System \(v_1', \dots, v_n'\) als Lösung von Differentialgleichungen der Form \[ x'\;\frac{dv_i'}{dx_i'} = f_i (x', v_1', \dots, v_n') \qquad (i = 1, 2, \dots, n), \] wo die \(f_i\) für \(x_i = 0\), \(v_1' = 0, \dots, v_n' = 0\) verschwinden und in der Umgebung dieser Werte holomorph sind. Die formale Entwickelung der \(v'\) nach ganzen positiven Potenzen ist an die Bedingung gebunden, dass die Determinante \[ \left| \begin{matrix}\l \quad & \l\quad & \l\\ \frac{\partial f_1}{\partial v_1'} - k & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial v_n'}\\ \quad \strut \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial v_1'} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial v_n'} - k \end{matrix} \right|_{x = 0} \] für keinen positiven ganzzahligen Wert von \(k\) verschwindet. Von der unter dieser Voraussetzung erhaltenen Reihe wird bewiesen, dass sie in einem gewissen Bereiche convergent ist.