Mémoire sur les invariants de certaines équations différentielles et sur leurs applications. (Q1535156)

Gegenstand der Arbeit (siehe auch JFM 21.0317.01) sind die Differentialgleichungen von der Gestalt \[ (1) \quad dxd^2y - dy d^2 x + a_1 dy^3 + 3a_2 dy^2 dx + 3a_3 dy dx^2 + a_4 dx^3 = 0, \] worin \(a_1, \dots, a_4\) beliebige Functionen von \(x\) und \(y\) sind. Ausdrücke, welche für beliebige Transformationen der Form \(x' = f (x, y)\), \(y' = \varphi (x, y)\) invariant bleiben, hatte der Verfasser bereits in einer früheren Note (C. R. CV. 460, F. d. M. XIX. 1887. 317, JFM 19.0317.01) angegeben. Hier handelt es sich um Constructionsweisen derselben, die den Ausnahmefällen sich anpassen und dazu führen, die verschiedenen Fälle zu klassificiren, welche die Singularitäten des betrachteten Typus darstellen. Den Ausgangspunkt der Untersuchung bildet der wesentliche Zusammenhang, der zwischen der Gleichung (1) und einem System linearer Gleichungen besteht und der bei den erwähnten Transformationen erhalten bleibt. Das ``associirte'' System lautet: \[ (2) \quad \begin{cases} dz - p\, dx - q \,dy = 0, \\ dp + (P'' p + Q'' q + R'' z) dx + (P'p + Q'q + R'z) dy = 0,\\ dq + (P'p + Q'q + R'z) dx + (Pp + Qq + Rz)dy = 0;\end{cases} \] \(x\) und \(y\) sind durch eine nicht gegebene Relation verbunden zu denken; \(z, p, q\) drei Unbekannte und \(P, Q, \dots, R''\) bestimmte Functionen von \(x\) und \(y\). Die Elimination von \(p\) und \(q\) führt im allgemeinen zu einer Gleichung dritter Ordnung in \(z\), sie erniedrigt sich auf die zweite Ordnung, wenn \[ 0 = dx\, d^2 y - dy\, d^2 x + P\,dy^2 + (2P' - Q) dy^2 dx+ (P'' - 2Q')dy dx^2 - Q'' dx^3. \] Somit ist die Gleichung (1) mit dem System (2) unveränderlich verknüpft, wenn die Bedingungen \[ P = a_1, \quad 2P' - Q = 3a_2, \quad P'' - 2Q' = 3a_3, \quad - Q'' = a_4 \] erfüllt sind. Wie man sieht, ist hierdurch das System (2) noch nicht vollständig bestimmt, die Ergänzung kann auf mehrere Arten durch invariante Relationen geschehen, derart dass jeder Gleichung (1) ein bestimmtes System (2) entspricht. Unter den Invarianten werden zwei Kategorien unterschieden: die im eigentlichen Sinne, welche explicite als Functionen von \(a_1, \dots, a_4\) und ihren Ableitungen gegeben sind, und solche, die durch Quadraturen oder Integrationen ohne Kenntnis der Beziehung zwischen den \(a\) definirt sind. Es wird nun eine Invariante \(v_5\) vom Gewichte 5 gebildet und eine Reihe von Invarianten \(v_5, v_7\) etc. daraus abgeleitet. Nimmt man zwei absolute Invarianten (vom Gewichte Null) z. B. \(x' = v_7 v_5^{- \frac 75}\), \(y' = v_9 v_5^{- \frac 95}\) zu neuen Variabeln, so nimmt die Gleichung (1) eine kanonische Form an, deren Coefficienten absolute Invarianten im eigentlichen Sinne sind, und da ihre Zahl 4 ist, so bestehen zwischen ihnen 2 identische Relationen. Jedem System dieser Identitäten entspricht eine bestimmte Klasse von Gleichungen des Typus (7), die in einander durch Substitutionen transformirbar sind. Ein Ausnahmefall tritt ein, wenn die erwähnten absoluten Invarianten und damit alle Grössen \(t_m = v_m v_5^{- \frac m5}\) Functionen einer einzigen unter ihnen sind. Eine eingehende Untersuchung mit Hülfe der durch Integrationen definirten Invarianten zeigt, dass nur die beiden Fälle \(t_7\) = const. und verschieden von Null und \(t_7 = 0\) einer besonderen Behandlungsweise bedürfen. Die Discussion hierüber, welche wegen der vielen dabei nötigen Unterscheidungen sehr umfangreich ist, wird vollständig durchgeführt. Diese Resultate werden zunächst auf die Lösung des Problems angewandt: die Gleichungen der Form (1) zu charakterisiren, welche sich auf eine ähnliche zurückführen lassen, worin die Coefficienten nur von einer Variable abhängen, und diese Reduction zu bewirken. Die Ordnung dieser Gleichungen kann stets um eine Einheit erniedrigt werden. Eine zweite Anwendung betrifft die Gleichungen, reductibel auf die Form \[ \frac{d^2 y}{dx^2} + y^{m + 1} f(x) + yF(x) = 0. \] Jeder derselben entspricht eine andere von derselben Art \[ \frac{d^2 y_1}{dx^2} + y_{1}^{\frac{m + 4}{m}} f_1 (x) + y_1 F_1 (x) = 0, \] wo \(f_1\) und \(F_1\) mit \(f\) und \(F\) durch bekannte Relationen verbunden sind, und die Integrale der einen sich aus denen der anderen herleiten. Der letzte Teil der Arbeit bezieht sich auf die Fälle, in welchen die Gleichung (1) die geodätischen Linien einer gewissen Oberfläche definirt.