Sur les équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants. (Q1535167)

Die Differentialgleichung \(\psi(y'', y', y) = 0\) der bezeichneten Art wird durch die Substitution \(y = e^{\int u dx}\) in eine Gleichung zwischen \(u'\) und \(u\) mit constanten Coefficienten übergeführt und damit auf eine Quadratur zurückgebracht. Andererseits lässt sie die Lösung \(y = Ce^{rx}\) zu, worin \(C\) eine willkürliche Constante und \(r\) eine Wurzel der Gleichung \(\psi (r^2, r, 1) = 0\) bedeutet. Die entsprechende Lösung für die Gleichung in \(u\) ist \(u = r\). Es handelt sich darum, für jedes dieser Integrale festzustellen, ob es particulär oder singulär ist. Berücksichtigt man, dass \(u' = 0\) für \(u = r\) und \[ x = \int_{u_0}^{u} \frac{du}{u'} \quad \text{oder} \quad x + \int_{r}^{u_0} \frac{du}{u'} = \int_{r}^{u} \frac{du}{u'} \] (\(u_0\) willkürliche Constante) das allgemeine Integral für die Gleichung in \(u\) ist, so erkennt man, dass \(u = r\) für eine bestimmte Wurzel \(r\) als particuläres Integral nur dann im allgemeinen enthalten ist, wenn \(\int \frac{du}{u'}\), worin \(u'\) als Function von \(u\) durch die Gleichung gegeben ist, für diese Wurzel \(u = r\) unendlich wird, im anderen Falle ist das Integral singulär. Ist \(\int \frac{du}{u'}\)ein Integral erster Gattung, so sind alle Lösungen der Form \(u = r\) singulär. An dem Beispiel, wo \(\psi\) vom zweiten Grade ist, wird gezeigt, dass in einem der hierbei zu unterscheidenden Fälle die Differentialgleichung der in einer anderen Arbeit des Verfassers (S. das Referat auf S. 312 (JFM 21.0312.01)) erörterten Bedingung genügt, die erforderlich ist, damit das allgemeine Integral die Form \(y = h^2 u_1 + h ku_2 + k^2 u_3\) habe mit den beiden willkürlichen Constanten \(h\) und \(k\).