On the calculation of number systems. (Q1535211)

Aus einer Reihe von \(n\) unabhängigen Einheiten \(e_1, e_2, \dots, e_n\) lassen sich in linearer Weise Grössen \(x\) von der Form \[ x = e_1 x_1 + e_2 x_2 + \cdots + e_n x_n \] zusammensetzen, wo die Coefficienten \(x_i\) gewöhnliche (reelle oder complexe) Zahlen bedeuten. Die Theorie solcher ``extensiven'' oder ``höheren complexen'' Zahlen ist allgemein von Grassmann begründet worden, während Hamilton in seinen Quaternionen einen besonders wichtigen Fall statuirte. In den letzten Jahren hat man dieselben vielfach untersucht; während englische und amerikanische Mathematiker (Cayley, Sylvester, Clifford, Peirce u. a.) versucht haben, für ein gegebenes \(n\) und bei vorgeschriebener Multiplicationsverknüpfung die verschiedenen Arten von derartigen Grössen aufzustellen, haben Weierstrass und im Anschluss an ihn Schwarz, Dedekind, Hölder, Petersen sich vorwiegend auf den arithmetischen Standpunkt gestellt und unter gewissen, teils notwendigen, teils willkürlichen Voraussetzungen die verschiedenen Klassen von überhaupt zulässigen Multiplicationen (und Divisionen) erforscht. Hr. Poincaré scheint zuerst auf den Zusammenhang zwischen complexen Zahlensystemen und den Lie'schen Transformationsgruppen hingewiesen zu haben. Die Bestimmung der ersteren kommt danach darauf hinaus, alle einfach (transitiven) linearen homogenen Gruppen in \(n\) Veränderlichen zu finden, deren Coefficienten lineare Functionen von \(n\) Parametern sind. In der That hat man für das Product zweier Zahlen \[ x = \varSigma x_i e_i, \quad y = \varSigma y_i e_i \] bei Zugrundelegung des distributiven Gesetzes \[ x' = xy = \varSigma \varSigma x_i y_k e_i e_k; \] soll sich nun das Product \(xy\) wieder als eine allgemeine complexe Zahl der hier betrachteten Art darstellen, so müssen die Producte \(e_i e_k\) selber die Form haben \[ e_i e_k = \varSigma \gamma_{iks} e_s, \] wo die \(\gamma\) wiederum gewöhnlich-complexe Constanten sind. Demnach stellen die \(n\) Gleichungen der Multiplication: \[ x_s' = \varSigma \varSigma \gamma_{iks} x_i y_k \] eine lineare homogene Transformation der \(x\) in die \(x'\) dar, wobei die \(y\) die Rolle von blossen Parametern spielen. Jene Gleichungen repräsentiren aber dann und nur dann eine (projective) Transformationsgruppe, wenn noch das associative Gesetz erfüllt ist, d. h. wenn \[ (xy)z = x(yz). \] Zugleich ist dann die Gruppe eine sogenannte Parametergruppe. Fügt man endlich noch die Forderung hinzu, dass eine solche in Rede stehende Klasse von Zahlen einen ``Modul'' besitzt, d. i. eine Zahl \(\varepsilon\), die mit jeder Zahl der Klasse, vorwärts oder rückwärts multiplicirt, dieselbe unverändert lässt, so hat man das vor sich, was die Verfasser ein ``System'' von complexen Zahlen nennen und ihren Untersuchungen zu Grunde legen. Dabei ist zu beachten, dass für ein solches System das commutative Multiplicationsgesetz im allgemeinen nicht erfüllt zu sein braucht, und überhaupt als etwas Nebensächliches erscheint. Der eben skizzirte innige Zusammenhang zwischen complexen Zahlen und Transformationsgruppen soll dazu dienen, für drei, vier und mehr Einheiten sämtliche verschiedenen Typen von Systemen mit möglichst wenig Rechnung zu construiren. Zu einem und demselben Typus gehören alle diejenigen Systeme, die sich vermöge linearer Transformation der Einheiten in einander überführen lassen. Hat man ein System mit \(n\) Einheiten \((n>1)\), so muss eine zwischen 2 und \(n\) liegende ganze Zahl derart existiren, dass die \(h^{\text{te}}\) Potenz einer jeden Zahl \(a\) des Systems linear ausdrückbar wird durch die vorhergehenden Potenzen \(a^0 = \varepsilon, a^1, a^2, \dots, a^{n - 1}\), während diese letzteren bei hinreichend allgemeiner Wahl von \(a\) linear unabhängig sind. Die Wichtigkeit dieser Zahl \(k\), ``des Grades'' des Systems, für die Einteilung derselben hat Herr Study zuerst erkannt und verwertet. Ist nämlich die gemeinte Relation: \[ a^k = \alpha_1 a^{k - 1} + \alpha_{2} a^{k - 2} + \cdots + \alpha_k a^0 \] (unter den \(\alpha\) gewöhnliche complexe Zahlen verstanden), so bilde man die algebraische Hülfsgleichung mit einer gewöhnlichen Unbekannten \(\lambda\): \[ \lambda^k - \alpha_1 \lambda^{k - 1} - \alpha_{2} \lambda^{k - 2} - \cdots - \alpha_k = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2) \dots (\lambda - \lambda_k) = 0. \] Entsprechend den verschiedenen Möglichkeiten des Zusammenfallens von ``Wurzeln'' \(\lambda_i\) existiren für ein und dasselbe \(k\) verschiedene Typen von Zahlensystemen; zu jedem Typus gehört dann wieder eine Reihe von ``Gestalten'', welche durch nur reelle Substitutionen der \(e\) in einander übergehen, und diese correspondiren den unterschiedenen Realitätsverhältnissen der \(\lambda_i\). Mit Hülfe der \(\lambda_i\) und der Systemzahl \(a\) werden nun neue Einheiten \(e\) construirt, deren Multiplcationsgesetze möglichst einfach ausfallen. So z. B. hat man für \(k = n\) \[ e_1 = \frac{(a - \lambda_2)(a - \lambda_3) \dots (a - \lambda_n)}{(\lambda_1 - \lambda_2) (\lambda_1 - \lambda_3) \dots (\lambda_1 - \lambda_n)} \] und durch cyklische Vertauschung die übrigen \(e\). Coincidiren einige der \(\lambda_i\), so sind einige der \(e\) zu ersetzen durch andere, die durch Grenzbetrachtungen aus jenen entstehen. Auf diese Weise findet Herr Study (siehe JFM 21.0385.01) im Falle \(n = 3\) fünf, im Falle \(n = 4\) sechzehn verschiedene Typen, deren einer die Quaternionen darstellt. Diese Typen (nebst den zugehörigen Gestalten) sind in ihrer Vollständigkeit neu. (Die für \(n = 2\) existirenden sind schon 1880 von Weierstrass angegeben worden.) Während bei der Ableitung derselben wesentlich war, dass immer die für eine geringere Anzahl von Einheiten vorhandenen Typen bereits bekannt sein mussten, vermag Herr Study einen wichtigen Fall, nämlich wenn \(k = n\) ist, ganz allgemein zu erledigen. Im besonderen, nämlich bei getrennten Wurzeln \(\lambda_{i}\), fliessen daraus die von Weierstrass u. d. a. 1884 untersuchten Gestalten. Es wird darauf hingewiesen, dass die hierauf bezüglichen Sätze auch als solche der Theorie der linearen Transformationen (in einem Raume von \(n\) Dimensionen) aufgefasst werden können und als solche (wenigstens für \(n = 3\)) schon früher in einer Arbeit von Clebsch und Gordan von 1868 auftreten. Der Zusammenhang zwischen Zahlensystemen und Transformationsgruppen ist in der vorliegenden Arbeit von Herrn Study nur angedeutet; ausführlich ist derselbe in einer fast unmittelbar darauf erschienenen Arbeit (vgl. das folgende Referat (JFM 21.0391.01)) darauf eingegangen. Die beiden Abhandlungen von Herrn Scheffers (siehe auch JFM 21.0385.02), die späteren Datums sind, verwenden direct Sätze von Lie und Engel über Transformationsgruppen zur Aufstellung aller Typen von Zahlensystemen für den schon bedeutend schwierigeren Fall \(n = 5\). Hier greifen vor allem die infinitesimalen Transformationen einer Gruppe ein. Dieselben treten bei der directen Fassung der Multiplication als einer Transformationsgruppe in einer kanonischen Form auf: kennt man nun von anderer Seite her überhaupt ein System von infinitesimalen Transformationen der bezüglichen Gruppe, so wird zunächst gezeigt, wie dasselbe durch geeignete lineare Substitutionen auf jene kanonische Form gebracht werden kann. So hatte Lie schon früher die verschiedenen Typen von projectiven Gruppen in zwei (nicht homogenen) Variabeln ermittelt: auf dem angezeigten Wege dienen dieselben nunmehr unmittelbar zur Construction der fünf verschiedenen Zahlensysteme \(n = 3\), wie sie sich bei Study vorfinden. Behufs systematischer Weitereintwickelung wird indessen ein besonderes Studium der von Weierstrass eingeführten sogenannten ``Teiler der Null'' notwendig. Es kann nämlich die Gleichung \(xy = 0\) erfüllt sein, ohne dass einer der Factoren verschwindet: es genügt dann etwa \(x\) einer gewissen Gleichung \(\varDelta_x = 0\). Ist umgekehrt dies der Fall, so gehören zu einer solchen Zahl \(x\) noch unendlich viele \(y\), die sämtlich eine ebene Mannigfaltigkeit \(\varrho^{\text{ter}}\) Stufe erfüllen. Die Zahl \(\varrho\) ist ebenfalls für das Zahlensystem charakteristisch. Andererseits bilden aber auch alle Zahlen \(xz\), die durch Multiplication von \(x\) mit einer ganz beliebigen Zahl \(z\) des Systems entstehen, eine ebene Mannigfaltigkeit. Diese ist dann von der \((n - \varrho)^{\text{ten}}\) Stufe. Noch wichtiger indessen, als die beiden eben erwähnten Mannigfaltigkeiten, ist folgendes Einteilungsprincip. Lie hat schon früher die Gesamtheit der endlichen continuirlichen Gruppen in die beiden Klassen der integrabeln und der nicht integrabeln Gruppen geschieden. Engel hat sodann 1887 die Lie'sche Definition durch eine rein gruppentheoretische ersetzt. Die letztere erweist sich nun als sehr fruchtbar für die entsprechende Einteilung der Zahlensysteme in ``Kegelschnitt- und Nichtkegelschnitt-Systeme''. Die ersteren sind dadurch definirt, dass sie stets drei, vom Modul unabhängige Einheiten \(e_1, e_2, e_3\) besitzen, für welche: \[ e_1 e_2 - e_2 e_1 = 2e_3, \quad e_2 e_3 - e_3 e_2 = 2e_1, \quad e_3 e_1 - e_1 e_3 = 2e_2. \] Ein Nichtkegelschnittsystem ist dadurch charakterisirt, dass sich in ihm die \(n\) Einheiten \(e_1, e_2, \dots, e_n\) so auswählen lassen, dass jedes Product \(e_i e_k\) (und ebenso \(e_k e_i\)), für das \(k \geqq i\), bereits durch die Einheiten der Reihe \(e_1, e_2, \dots, e_i\) allein ausdrückbar ist. Die Kegelschnittsysteme zerfallen ihrerseits wiederum in zwei Unterklassen. Es zeigt sich nämlich, dass die drei Quadrate von \(e_1, e_2, e_3\) einen und denselben Wert \(\eta\) besitzen. Jenachdem nun \(\eta\) aus \(\varepsilon\), \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) allein linear ableitbar ist, oder nicht, entsteht die eine oder die andere Unterklasse. Die erstere fällt für \(n = 4\) genau zusammen mit den Hamilton'schen Quaternionen. Die weiteren Systeme für \(n > 4\) erwachsen also, indem man das Quaternionensystem durch Aufnahme neuer Einheiten in geeigneter Weise erweitert, so dass der ursprüngliche Modul \(\varepsilon\) auch für die neuen Systeme Modul bleibt. Entsprechendes gilt für die zweite Unterklasse der Kegelschnittsysteme. Es gelingt so die Aufstellung aller Systeme dieser Art bis zu \(n = 8\) incl. (impl. auch für \(n = 9\)). Es ergeben sich für \(n = 4, 5, 6, 7, 8\) resp. \(1, 1, 2, 7, 25\) Systeme. Für \(n = 9\) wird u. a. ein System mitgeteilt, das mit den von Sylvester 1882 gefunden ``Nonionen'' übereinstimmt. Die Nichtkegelschnittsysteme in \(n\) Einheiten \(e_1, e_2, \dots, e_n\) sind insofern leichter zu handhaben, als die \(n - 1\) ersten Einheiten \(e_1, e_2, \dots, e_{n - 1}\) bereits für sich ein ebensolches System liefern, das freilich unter Umständen auch ``ausgeartet'' sein kann, insofern es gar keinen Modul besitzt. Es tritt hier die Wichtigkeit von ausgearteten Systemen hervor, denen auch eine geeignete gruppentheoretische Interpretation beigelegt wird. Für \(n = 2\) hatte Cayley fünf solcher Systeme gefunden; für \(n = 3\) erhält der Verfasser achtzehn; für \(n = 4\) fast hundert Typen. Mit Hülfe der letzteren und der für \(n = 4\) von Herrn Study ermittelten regulären (die übrigens hier auf eine neue Art abgeleitet werden) ist der Verfasser zum Schluss in der Lage, eine vollständige Tafel aller aus fünf Einheiten ableitbaren und regulären Zahlensysteme zu construiren. Nur eines unter denselben ist, wie oben bemerkt, Kegelschnittsystem, die übrigen 52 sind Nichtkegelschnittsysteme. Damit ist dann aber zugleich folgendes Problem der Lie'schen Theorie erledigt: ``Alle Typen von Paaren reciproker, einfach transitiver projectiver Gruppen in einem Gebiete fünfter Stufe anzugeben''.