On a summatorial function. (Q1535241)

Bezeichnet \(t\) eine reelle positive Grösse, \(f (x)\) eine Function der reellen Veränderlichen \(x\), so ist bis auf eine additive Constante eine Function \(\varPsi (x)\) durch die folgenden Eigenschaften vollständig bestimmt: Wenn \(x\) kein ganzes Vielfaches von \(t\), und \(nt\) das dem Werte von \(x\) nächste kleinere ganze Vielfache von \(t\) ist, so ist \[ \varPsi (x) - \varPsi (nt) = \tfrac 12 f (nt); \] ferner ist die Differenz \[ \varPsi (x + t) - \psi (x) \] im allgemeinen gleich dem Functionswerte von \(f\) für dasjenige zwischen \(x\) und \(x + t\) liegende Argument, welches ein ganzzahliges Vielfaches von \(t\) ist; nur in dem besonderen Falle, wo jedes der beiden Argumente \(x\) und \(x + t\) selbst ein gazzahliges Vielfaches von \(t\) ist, wird jene Differenz gleich \[ \tfrac 12 (f(x) = f(x + t)). \] Die hierdurch charakterisirte Function \(\varPsi (x)\) bezeichnet der Herr Verfasser mit \[ \overline{\sum_t} f(x) \] und nennt sie eine ``summatorische Function''. Diese Function lässt sich in sehr eleganter Weise analytisch darstellen. Man wähle nämlich irgend eine reelle Function \(\psi(x)\), welche im Intervalle \((0, t)\) nebst ihrer Ableitung endlich bleibt, und entwickle dieselbe in eine Fourier'sche Reihe: \[ \psi (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \left( \alpha_k \sin \frac{2 k x \pi}{t} + \beta_k \cos\;\frac{2k x \pi}{t} \right). \] Ferner bestimme man die Grössen \(a_k\), \(v_k\) so, dass \[ a_k e^{v_k \pi i} = - \frac{2k \pi}{t} (\alpha_k + \beta_k i) \quad \quad (k = 1, 2, 3, \dots) \] wird, und alsdann \(g(x), g'(x), \dots, g^{(n - 1)}(x)\) durch die Gleichungen \[ g^{(n - h)} (-x) = \sum_{k = 1}^{\infty} a_k \left( \frac{t}{2k\pi} \right)^h \cos \left( \frac{2kx}{t} + v_k + \tfrac 12 h \right) \pi \quad (h = 1, 2, \dots, n); \] endlich nehme man \(g^{(n)} (-x)\) im Intervalle \(0 \leqq x < t\) gleich \(- \psi' (x)\) an und ausserhalb des Intervalle so, dass stets \[ g^{(n)} (x + t) = g^{(n)} (x) \] wird. Dann besteht die Gleichung: \[ (\psi (0) - \psi (t)) \overline{\sum_t} \,f \, (x) = \sum_{h = 1}^{n} f^{(h - 1)}(x) g^{(n - h)} (-x)+ \int^x [f(x) g^{(n)} (-x) - f^{(n)} (x) g (-x)]dx. \] Der Verfasser knüpft den Beweis dieser Gleichung an eine früher veröffentlichte Abhandlung ``Ueber eine bei Anwendung der partiellen Integration nützliche Formel'' (F. d. M. XVII. 1885. 251, JFM 17.0251.02) an. Setzt man \[ f(x) = F'(x + z), \] und \[ g^{(h)} (x) = (\psi (0) - \psi (t)) G^{(h)} (x) \quad \quad (h = 0, 1, 2, \dots, n), \] so nimmt die obige Gleichung die Gestalt an: \[ \overline{\sum_t} F'(x + z) = \sum_{h = 1}^{n} F^{(h)}(x + z) G^{(n - h)} (-x)+ \int^x [F'(x + z) G^{(n)} (-x) - F^{(n + 1)} (x + z) G (- x)]dx. \] Wie aus den charakteristischen Eigenschaften der summatorischen Function hervorgeht, befriedigt die Function \(\overline{\sum_t} F' (x + z)\) die Differenzengleichung \[ \varPhi (z + t) - \varPhi (z) = \tfrac 12 (F' (z) + F'(z + t)), \] sobald für \(x\) irgend ein ganzzahliges Vielfaches von \(t\) gewählt wird. Es ist hier zu bemerken, dass die gewöhnliche Differenzengleichung \[ \varPhi (z + t) - \varPhi (z) =F' (z) \] leicht auf die vorstehende zurückgeführt werden kann. Die allgemeine Darstellung der summatorischen Function führt zu einer bemerkenswerten Erweiterung und Veränderung der Euler-Poisson'schen Summenformel, wenn man für die Function \(\psi(x)\) die specielle Annahme \(\psi(x) = \tfrac 12 t - x\) macht. Es ergiebt sich dann insbesondere, falls \(x - z\) und \(x_0 - z\) ganze Vielfache von \(t\) sind, dass der Wert der Summe \[ \tfrac 12 \sum_m F' (mt + z) + \tfrac 12 \sum_n F' (nt + z) \quad \left( \begin{matrix} x_0 \leqq mt + z < x\\ x_0 < nt + z \leqq x \end{matrix} \right) \] durch den Ausdruck \[ \sum_\nu (-1)^{\nu - 1}\;\frac{B_\nu t^{2\nu - 1}}{(2\nu)!} (F^{(2 \nu)} (x) - F^{(2 \nu)} (x_0)) + R_n \quad (0 \leqq \nu \leqq \tfrac 12 n) \] dargestellt wird, wo \(B_0 = - 1, B_1, B_2, \dots\) die Bernoulli'schen Zahlen bedeuten und \[ R_n = 2 \int_{x_0}^{x} F^{(n + 1)} (x) \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{t^{n - 1}}{(2k \pi)^n}\;\cos \left( \frac{2k (x - z)}{t} + \tfrac 12 n \right) \pi \cdot dx \] ist. Dieser Ausdruck ist bereits von Poisson gefunden, aber seine eigentliche Bedeutung als specieller Fall einer summatorischen Function war bisher unbekannt geblieben. Andere specielle Annahmen für die Function \(\psi(x)\) führen ebenfalls zu bemerkenswerten Resultaten. Wir heben hier als Beispiel die Formel \[ \tfrac 12 \sum_m f(mt) + \tfrac 12 \sum f(nt) = \tfrac{1}{t}\, \lim_{s = \infty} \int_{x_0}^{x} f(x) \frac{\sin (2s - 1) \frac{x\pi}{t}}{\sin \frac{x \pi}{t}}\;dx \] \[ (x_0 \leqq mt < x, \quad x_0 < nt \leqq x) \] hervor, welche in die Dirichlet'sche Summenformel übergeht, wenn \(x_0\) und \(x\) ganze Vielfache von \(t\) sind.