On the representability of arbitrary functions by series that proceed by the roots of a transcendental equation. (Q1535243)

Die allgemeine Aufgabe, die Convergenz einer Reihe zu beweisen, welche nach gegebenen Functionen \(\theta(x, \lambda)\) fortschreitet, wo für den Parameter \(\lambda\) alle Wurzeln einer gegebenen transcendenten Gleichung \(\varphi(\lambda) = 0\) zu setzen sind, ist vom Verfasser nicht behandelt, weil er sie in dieser Gestalt für undurchführbar hält. Dagegen hatte er in seiner Dissertation (``Ueber eine in der Wärmeleitung auftretende, nach den Wurzeln einer transcendenten Gleichung fortschreitende unendliche Reihe''. Strassburg. 1886) den Beweis an einem bestimmten Falle geführt. Es war die Reihe \[ (1) \quad u = \tfrac{1}{r}\, \sum_{n = 1}^{n = \infty}\;e^{- \left( \lambda_n \frac{\alpha}{l} \right)^2 t} \sin \left( \lambda_n \frac{r}{l} \right) \frac{\int_0^l \varrho f(\varrho) \sin \left( \lambda_n \frac{\varrho}{l} \right) d \varrho}{\int_0^l \left( \sin \lambda_n \frac{\varrho}{l} \right)^2 d \varrho}, \] wo \(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \dots\) die der Grösse nach geordneten positiven Wurzeln der Gleichung \[ (2) \quad \varphi(\lambda) = \cos \lambda + (\alpha - 1) \sin \lambda= 0 \quad (\alpha > 0) \] bedeuten. Für die Wärmeleitungsaufgabe genügt es, nachzuweisen, dass \(u\) mit positiv abnehmenden \(t\) gegen \(f(r)\) convergirt. Stellt die für \(t = 0\) gebildete Reihe \(f(r)\) dar, so ist dies nach einem Satze über Potenzreihen hierfür ausreichend, aber nicht notwendig. Die Methode des Beweises der Dissertation lässt sich jedoch auch auf die für \(t = 0\) gebildete Reihe ausdehnen, und dies zu zeigen ist der Zweck der vorliegenden Arbeit, d. h. die Reihe \[ (3) \quad v = \tfrac{1}{r}\, \sum_{n = 1}^{n = \infty} \sin \left(\lambda_n \frac{r}{l} \right)\;\frac{\int_0^l \varrho f (\varrho) \sin \left( \lambda_n \frac{\varrho}{l} \right) d \varrho}{\int_0^l \left( \sin \lambda_n \frac{\varrho}{l} \right)^2 d \varrho}, \] wo die \(\lambda\) wie oben aus (2) zu bestimmen sind, hat, unter Voraussetzung der bekannten Dirichlet'schen Bedingungen hinsichtlich der Function \(f(\varrho)\), zur Summe \(f(r)\) für \(0 < r < l\) mit Ausschluss der Grenzen \(r = 0\) und \(r = l\).