On the convergence of hypergeometric series of two and three variables. (Q1535263)

Eine Potenzreihe zweier Veränderlichen \[ H(x, y) = \varSigma A_{\lambda, \mu} x^{\lambda} y^\mu \quad \quad (\lambda, \mu = 0, 1, \dots, \infty) \] wird eine hypergeometrische Reihe genannt, wenn die beiden Quotienten \[ f(\lambda, \mu) = \frac{A_{\lambda + 1, \mu}}{A_{\lambda, \mu}}, \quad g\; (\lambda, \mu) = \frac{A_{\lambda, \mu + 1}}{A_{\lambda, \mu}} \] rationale Functionen von \(\lambda, \mu\) sind. In ähnlicher Weise wird die hypergeometrische Reihe von mehr Veränderlichen definirt. Der Untersuchung der Convergenz der Reihe \(H(x, y)\) geht die über die Convergenz der zweifach unendlichen Reihe \[ \varSigma | U_{\lambda, \mu} | \quad \quad (\lambda, \mu = 0, 1, \dots, \infty) \] voraus, die zu folgendem Resultate führt. Es sei in der \(\lambda \mu\)-Ebene \(OL\) die positive \(\lambda\)-Axe, \(OM\) die positive \(\mu\)-Axe, \(OP\) und \(OQ\) zwei Strahlen in dem Quadranten \(LOM\) die einen Winkelraum \({\mathfrak{S}}\) bilden. Ist nun für alle Punkte \((\lambda, \mu)\) in \({\mathfrak{S}}\), für welche \(\lambda > l, \mu > m\) ist, gleichzeitig \[ \left| \frac{U_{\lambda + 1, \mu}}{U_{\lambda, \mu}} \right| > 1, \quad \left| \frac{U_{\lambda, \mu + 1}}{U_{\lambda, \mu}} \right| > 1, \] so ist die Reihe \(\sum_{\lambda, \mu} | U_{\lambda, \mu} |\) divergent. Bezeichnet man ferner den Winkelraum zwischen \(OL\) und \(OP\) mit \({\mathfrak{P}}\), den zwischen \(OM\) und \(OQ\) mit \({\mathfrak{Q}}\), und treten die Strahlen in der Reihenfolge \(OL, OQ, OP, OM\) auf, so dass die Gebiete \({\mathfrak{P}}\) und \({\mathfrak{Q}}\) den Winkelraum \({\mathfrak{S}}\) gemein haben, so gilt der Satz: Ist im Gebiete \({\mathfrak{P}}\) \[ \left| \frac{U_{\lambda + 1, \mu}}{U_{\lambda, \mu}} \right| < \alpha, \quad \alpha < 1, \] im Gebiete \({\mathfrak{Q}}\) \[ \left| \frac{U_{\lambda, \mu + 1}}{U_{\lambda, \mu}} \right| < \beta, \quad \beta < 1, \] sobald \(\lambda >l\), \(\mu > m\) ist, so convergirt die Reihe \(\sum_{\lambda, \mu} | U_{\lambda, \mu} |\). Dieser Satz wird noch erweitert durch Teilung des ganzen Quadranten in \(n\) Gebiete. Sind nun \(p\) und \(p'\) die Grade resp. des Zählers und Nenners der rationalen Function \(f(\lambda, \mu)\), und haben \(q\) und \(q'\) dieselbe Bedeutung in Bezug auf \(g(\lambda, \mu)\), ist ferner \[ \varPhi (\lambda, \mu) = \lim_{t = \infty} f(\lambda t, \mu t), \quad \varPsi (\lambda, \mu) = \lim_{t = \infty} g(\lambda t, \mu t), \] dann ergiebt sich, dass die Reihe \(H(x, y)\) convergirt: 1) im Falle \(p<p'\), \(q<q'\) für alle Werte von \(x\) und \(y\), 2) im Falle \(p<p'\), \(q = q'\), wenn \(x\) beliebig und \(| y | < \frac{1}{| \varPsi (0, 1) |}\), 3) im Falle \(p=p', q<q'\), wenn \(y\) beliebig und \(| x | < \frac{1}{| \varPhi (0, 1) |}\). Im Falle \(p=p'\), \(q=q'\) convergirt die Reihe jedenfalls für hinreichend kleine Werte von \(| x |\) und \(| y |\). Die wirkliche Bestimmung des Convergenzbezirkes in diesem Falle entzieht sich der Wiedergabe. Es werden darauf mit Hülfe des Systems linearer partieller Differentialgleichungen, dem die Reihe \(H(x, y)\) genügt, diejenigen singulären Gebilde der hypergeometrischen Functionen ermittelt, durch welche die Begrenzung de Convergenzbezirks der sie darstellenden Reihen bedingt wird. Den Beschluss bildet die Ausdehnung der im Vorhergehenden abgeleiteten Resultate auf hypergeometrische Reihen dreier Veränderlichen.