On the representation of the hypergeometric transcendents by single valued functions. (Q1535264)

Der Untersuchung wird die besondere hypergeometrische Function \(y\) von \(x\) zu Grunde gelegt, die der Differentialgleichung \[ \frac{d^2 y}{dx^2} + \tfrac 12 R(\lambda, \mu, \nu, x) = 0 \] genügt, worin \[ R(\lambda, \mu, \nu, x) = \frac{1 - \lambda^2 + (\lambda^2 + \mu^2 - \nu^2 - 1) \;x + (1 - \mu^2)x^2}{2x^2 (1 - x^2)}. \] Aus ihr geht die allgemeine Function hervor, wenn man \(y\) mit einem Factor der Form \(x^\delta (1 - x)^{\varepsilon}\) multiplicirt, wo \(\delta\) und \(\varepsilon\) beliebige reelle Zahlen bedeuten. Die zu den singulären Punkten \(x = 0, \infty, 1\) gehörigen Exponenten sind beziehungsweise: \[ \alpha = \frac{\lambda + 1}{2}, \quad \alpha' = \frac{- \lambda + 1}{2}; \quad \beta = \frac{\mu - 1}{2}, \quad \beta' = \frac{- \mu - 1}{2}; \] \[ \gamma = \frac{\nu + 1}{2}, \quad \gamma' = \frac{- \nu + 1}{2}; \] \(\lambda, \mu, \nu\) werden von Null oder einer ganzen Zahl verschieden angenommen. Nach Einführung der Function \(x = \kappa^2 (\tau)\), wo \(\kappa^2\) den Legendre'schen Modul eines elliptischen Integrals erster Gatung und \(\tau\) das Periodenverhältnis bedeutet, wird die Existenz der Darstellung der Fundamentalintegrale \(y_1\) und \(y_2\) als eindeutiger Functionen von \(\tau\) nachgewiesen für alle Werte dieser Veränderlichen innerhalb der natürlichen Grenze ihres Gebietes, nämlich auf der positiven Halbebene \(\tau\). Die reellen ganzzahligen Substitutionen, welche die Werte der Function \(x = \kappa^2 (\tau)\) ungeändert lassen, bilden eine Gruppe \(g\); sie werden bezeichnet durch \(t_i (\tau) = (\alpha_i \tau + \beta_i):(\gamma_i \tau + \delta_i)\), wobei stets \[ \alpha_i \delta_i - \beta_i \gamma_i = 1, \; \alpha_i \equiv 1, \; \beta_i \equiv 0, \; \gamma_i \equiv 0, \; \delta_i \equiv 1 \quad \quad (\text{mod.} \; 2) \] ist. Der Gruppe \(g\) entspricht eine isomorphe Gruppe \(G\) der linear homogenen Substitutionen \(T_i\), welche die Integrale \(y_1, y_2\) erfahren, wenn auf \(\tau\) die Substitutionen \(t_i\) angewandt werden. Die singulären Stellen \(\tau = \varepsilon\) für die Integrale in der \(\tau\)-Ebene erfüllen die reelle Axe und verteilen sich in drei Kategorien von je unendlich vielen Punkten, die beziehungsweise den Punkten \(\tau = \infty, 1, 0\) vermöge der Substitutionen der Gruppe \(g\) äquivalent sind. Das Verhalten der Functionen \(y_1 (\tau), y_2 (\tau)\) in \(\tau = \varepsilon\) wird für jede der drei Kategorien ermittelt. Aus der Gruppe \(g\) werden die folgenden Substitutionen hervorgehoben: \[ t_1 (\tau) = \tau + 2, \quad t_2 (\tau) = \frac{\tau - 2}{2 \tau - 3}, \quad t_3 (\tau) = \frac{\tau}{1 - 2 \tau}, \] welche bez. die festbleibenden Punkte \(\tau = \infty, 1, 0\) haben. Bezeichnen ferner \[ u_0 (\tau) = \tau, \; u_1 (\tau), u_2 (\tau), \dots; \quad v_0 (\tau) = \tau, \; v_1 (\tau), v_2 (\tau), \dots; \] \[ w_0 (\tau) = \tau, \; w_1 (\tau), w_2 (\tau), \dots \] drei Systeme von unendlich vielen Substitutionen der Gruppe \(g\), welche bezüglich \(t_1 (\tau), t_2 (\tau), t_3 (\tau)\) inäquivalent sind, dann bilden die Substitutionen \[ u_n (\tau), v_n r (\tau), w_n s (\tau) \quad \quad (n = 0, 1, \dots, \infty), \] wo \[ r(\tau) = \frac{\tau}{1 - \tau}\,, \quad s(\tau) = - \frac{1}{\tau}\,, \] die Gruppe \(\varGamma\) aller reellen ganzzahligen Substitutionen. Jedem reellen rationalen Punkte \(\varepsilon\) entspricht innerhalb derselben eine und nur eine für \(\tau = \varepsilon\) unendlich werdende Function. Es wird nunmehr eine Function \(\varTheta (\tau)\) definirt durch die Gleichung \[ \varTheta (\tau) = \sum_n \left( \frac{du_n}{d \tau} \right)^m + \sum_n \left( \frac{dv_n r}{d \tau} \right)^m + \sum_n \left( \frac{dw_n s}{d \tau} \right)^m \] und ausserdem zwei Functionen \(\zeta_1 (\tau), \zeta_2 (\tau)\) durch \[ \zeta_1 (\tau) = \xi_1 (\tau) + \xi_1' (\tau) + \xi_1^{\prime\prime} (\tau); \quad \zeta_2 (\tau) = \xi_2 (\tau) + \xi_2' (\tau) + \xi_2^{prime\prime} (\tau), \] wo \[ \begin{aligned} & \xi_1 (\tau) = \sum_n U_{n}^{-1} (e^{i\pi \alpha u_n}) \left( \frac{du_n}{d\tau} \right)^m,\\ & \xi_2 (\tau) = \sum_n U_{n}^{-1} (e^{i\pi \alpha' u_n}) \left( \frac{du_n}{d\tau} \right)^m.\end{aligned} \] \(U_n\) bezeichnet die der Substitution \(u_n\) in \(g\) entsprechende Substitution in \(G\). Die Reihen für \(\xi_1', \xi_2'; \xi_1^{\prime\prime}, \xi_2^{\prime\prime}\) gehen aus den vorstehenden hervor, indem man \(u_n\), \(\alpha\), \(U_{n}^{-1}\) resp. durch \(v_n r\), \(\beta\), \(R^{-1} V_{n}^{-1}\); \(w_n s\), \(\gamma\), \(S^{-1} W_{n}^{-1}\) ersetzt, wobei \(V_n\), \(W_n\), \(R\), \(S\) in \(G\) resp. \(v_n\), \(w_n\), \(r\), \(s\) in \(g\) correspondiren. Die genannten Reihen convergiren sämtlich für alle Werte von \(\tau\) in der positiven Halbebene, wenn \(m\) hinreichend gross gewählt wird, die Reihe für \(\varTheta (\tau)\) insbesondere für \(m > 1\). Die Eigenschaften der Functionen sind ausgedrückt durch \[ \varTheta (t_\varrho (\tau)) = \left( \frac{d t_\varrho (\tau)}{d \tau} \right)^{-m} \varTheta (\tau), \quad \zeta_1 (t_\varrho (\tau)) = \left( \frac{d t_\varrho (\tau)}{d \tau} \right)^{-m} T_\varrho (\zeta_1 (\tau)), \] \[ \zeta_2 (t (\tau)) = \left(\frac{d t_\varrho (\tau)}{d \tau}\right)^{-m} T_\varrho (\zeta_2 (\tau)). \] Aus diesen Functionen werden zusammengesetzt \[ Z_1 (\tau) = \frac{\zeta_1 (\tau)}{\varTheta (\tau)}, \quad Z_2 (\tau) = \frac{\zeta_2 (\tau)}{\varTheta (\tau)}\,. \] Diese erfüllen, wie gezeigt wird, sämtliche Bedingungen, die zur Definition eines Systems der ``fonctions zétafuchsiennes'' notwendig und hinreichend sind. Die hypergeometrischen Functionen \(y_1, y_2\) stellen sich durch sie in der Form dar: \[ \begin{aligned} & y_1 = f_0 (\tau) Z_1 (\tau) + f_1 (\tau) \vartheta_{0}^{- 4} (0| \tau)\;\frac{d Z_1 (\tau)}{d \tau},\\ & y_2 = f_0 (\tau) Z_2 (\tau) + f_1 (\tau) \vartheta_{0}^{- 4} (0| \tau)\;\frac{d Z_2 (\tau)}{d \tau},\end{aligned} \] wo \(f_0(\tau)\) und \(f_1(\tau)\) elliptische Modulfunctionen sind und \(\vartheta_0\) die bekannte elliptische Transcendente bedeutet.