On the doubly periodic functions arising out of the curve \(x^3 + y^3 - 3\alpha xy = 1\). (Q1535303)

Die Abel'schen Functionen sind bekanntlich in dem Falle \(p = 1\) und insbesondere für nicht-singuläre kubische Curven elliptische Functionen. Die Theorie solcher Functionen wird hier entwickelt, indem als Ausgangspunkt die kubische Curve \[ x^3 + y^3 - 3 \alpha xy = 1 \] statt der biquadratischen \[ y^2 = (1 - x^2)(1 - k^2 x^2) \] genommen wird. Die aus dem Abel'schen Integral erster Art \[ u = \int_0^x \frac{dx}{y^2 - \alpha x} \] entspringenden Functionen \[ y = \text{cm\,} u, \quad x = \text{sm\,} u \] werden eingehend studirt und die Resultate geometrisch gedeutet. Alsdann werden die Functionen \[ f(u) = \int_0^u \text{sm\,} u \text{cm\,} u\, du, \quad \frac{d}{du}\;\log g (u) = f(u) \] und \[ Q(u, a) = \log\;\frac{g(u + a)}{g(u - a)} + u \{\alpha - 2f(a)\} - \alpha a + \log \text{\,cm\,} a \] eingeführt. Es zeigt sich, dass alle rationalen Functionen von \(\text{sm\,}u\) und \(\text{cm\,} u\) durch diese Functionen \(f(u)\) und \(Q(u, a)\) integrirt werden könne. Die letzten Capitel enthalten die Transformationstheorie. Ueberall tritt der Parallelismus zwischen der hier betrachteten Theorie und der der gewöhnlichen elliptischen Functionen hervor.