Linear differntial equations between the periods of the hyperelliptic integrals of the first kind. (Q1535313)

Da die \(\frac{\varrho (\varrho + 1)}{2}\) Parameter \(\tau_{\alpha \beta}\) einer \(\varrho\)-fach unendlichen Thetareihe im hyperelliptischen Falle von nur \(2 \varrho - 1\) Grössen abhängen, so müssen zwischen ihnenin diesem Falle \(\frac{(\varrho - 1)\; (\varrho - 2)}{2}\) Beziehungen existiren, und da sich weiter die Parameter \(\tau_{\alpha \beta}\) dann mit Hülfe der Gleichungen \(\omega_{\gamma\beta}' = \sum_\alpha \omega_{\gamma \alpha} \tau_{\alpha \beta}\) durch die Perioden \(\omega, \omega'\) der hyperelliptischen Integrale erster Gattung, welche, den Bedingungen \(\tau_{\alpha \beta} = \tau_{\beta \alpha}\) entsprechend, schon durch die Gleichungen \(\varSigma (\omega_{\alpha \gamma} \omega_{\beta \gamma}' - \omega_{\alpha \gamma}' \omega_{\beta \gamma}) = 0\) mit einander verknüpft sind, ausdrücken lassen, so müssen auch zwischen diesen noch weitere \(\frac{(\varrho - 1)(\varrho - 2)}{2}\) Gleichungen existiren. Um dieselben zu erhalten, geht der Verfasser von jenen Differentialgleichungen aus, welche er früher (F. d. M. XX. 1888. 487, JFM 20.0487.01) für die Perioden der hyperelliptischen Integrale erster und zweiter Gattung aufgestellt hat, und eliminirt aus ihnen die Constanten der Integrale und die Perioden der Integrale zweiter Gattung. Auf diese Weise entsteht ein System von \(\frac{(\varrho - 1)(\varrho -2)}{2}\) linearen Differentialgleichungen erster Ordnung zwischen den Perioden der hyperelliptischen Integrale erster Gattung, dem man die Form: \[ \sum_{\alpha, \beta} (\varOmega_\alpha, \varOmega_\beta)_{2 \mu} d \tau_{\alpha \beta} = 0 \] geben kann, wenn man mit \(\varOmega_\alpha\) den Ausdruck: \[ \varOmega_\alpha = \sum_\gamma \left( \begin{matrix} \varrho - 1\\ \gamma - 1 \end{matrix} \right) \omega_{\gamma \alpha} t_{1}^{\varrho - \gamma} t_{2}^{\gamma - 1}, \] mit \((\varOmega_\alpha, \varOmega_\beta)_{2 \mu}\) aber die \(2 \mu^{\text{te}}\) Ueberschiebung der beiden Formen \(\varOmega_\alpha\) und \(\varOmega_\beta\) bezeichnet und unter \(t_1, t_2\) willkürliche Variabeln versteht, das man aber auch in der einfacheren, jedoch die Invarianteneigenschaft der Gleichungen nicht unmittelbar zum Ausdruck bringenden Gestalt: \[ \sum_{\alpha, \beta} (\omega_{\gamma \alpha} \omega_{\varepsilon' \beta} - \omega_{\gamma' \alpha} \omega_{\varepsilon \beta}) d\tau_{\alpha \beta} = 0, \] wo \(\gamma + \varepsilon' = \gamma' + \varepsilon\) ist, schreiben kann.