On a class of spherical harmonics of complex degree with application to physical problems. (Q1535341)

Die von Herrn Mehler eingeführten Kegelfunctionen (F. d. M. II. 263, JFM 02.0263.01), welche sich bekanntlich als Kugelfunctionen mit complexem Stellenzeiger \[ {\mathfrak{K}}^p (x) = P^{- \frac 12 + p \sqrt{-1}} (x) \] auffassen lassen (s. Heine, Hdb. d. Kugelf. I. 301), werden im ersten Teile der vorliegenden Arbeit nach Thomson and Tait, Natural Philosophy I, 140 sqq., d. h. nicht als selbständige Functionen, sondern als Specialfall der Kugelfunctionen behandelt. Unter ausgiebiger Verwendung der Kummer'schen Sätze über die hypergeometrische Reihe (J. für Math. XV) werden die genannten Functionen in Reihen von verschiedenen Formen entwickelt und das Additionstheorem derselben hergeleitet. Mit Hülfe der gewonnenen Entwickelungen gelangt im zweiten Teile eine grössere Zahl (11) von bekannten Problemen der mathematischen Physik zur Behandlung. Dieselben beziehen sich teils auf die Ermittelung der permanenten Temperatur in einem beliebigen Punkte eines Leiters, über dessen Begrenzung verschiedene Annahmen gemacht werden, teils auf die Bestimmung des Potentials der inducirten Elektricität eines Leiters, u. a. m. Der Verfasser deutet in einer Schlussbemerkung an, dass sich ähnliche Probleme im zweidimensionalen Gebiete mittels zweidimensionaler Kugelfunctionen complexen Grades lösen lassen, und erläutert dies an einem einfachen Beispiel.