Some theorems on cylinder functions of the first kind. (Q1535351)

Sind \(a\) und \(b\) zwei Wurzeln der Gleichung \(J_n (x) = 0\), so ist \[ \begin{aligned} & (1) \quad \int_0^1 \frac{J_n (ax) J_{n - 1} (ax) dx}{x} = - \frac{a}{2n - 1}\;J_{n - 1} (a) J_{n + 1} (a);\\ & (2) \quad \int_0^1 x \frac{d J_n (ax)}{dx} \frac{dJ_n (bx)}{dx} dx + n^2 \int_0^1 \frac{J_n (ax) J_n (bx) dx}{x}\\ & \qquad\qquad\qquad = 0 \quad \text{für} \quad b\gtrless a,\\ & \qquad\qquad\qquad = \tfrac 12 a^2 J_{n + 1}^2 (a) \quad \text{für} \quad b = a;\\ & (3) \quad \int_0^1 x^2 J_{n - 1} (ax) J_n (bx) dx + \int_0^1 x^2 J_{n + 1} (ax) J_n (bx) dx\\ & \qquad\qquad\qquad = 0 \quad \text{für} \quad b\gtrless a,\\ & \qquad\qquad\qquad = \tfrac na\, J_{n + 1}^2 (a) \quad \text{für} \quad b = a.\end{aligned} \] Der Beweis dieser Gleichungen folgt leicht aus bekannten Relationen. Auch für die Function \(P_n (ax) = x^{-n} J_n (ax)\) gilt eine der Gleichung (2) analoge Formel.