Ueber die Bildungsweise und geometrische Construction der Configuration \(10_{3}\). (Q1535368)

Herr Schröter hatte schon in einer früheren Abhandlung (Gött. Nachr. 1888, F. d. M. XX. 588, JFM 20.0588.01) die regelmässigen Configurationen \(n_{3}\) auf lineare Weise zu construiren gelehrt. Ferner hatte Herr S. Kantor (Wiener Ber. LXXXIV; F. d. M. XIII. 1881. 461, JFM 13.0461.01; JFM 13.0461.02) die sämtlichen von einander verschiedenen zehn Gestalten der Configuration \(10_{3}\) aufgestellt, unter denen sich auch die bekannte Desargues'sche Figur sowie jene regelmässige Configuration befinden. In der vorliegenden Abhandlung prüft nun Herr Schröter die 10 Fälle der Configuration \(10_{3}\) nicht bloss nach ihrer combinatorischen, sonderm auch nach ihrer geometrischen und constructiven Möglichkeit. Eine Configuration \(10_{3}\) ist bekanntlich eine Gesamtheit von 10 Punkten und 10 Strahlen, derartig, dass jeder Strahl drei und nur drei von diesen 10 Punkten enthält, und dass von jedem Punkte drei und nur drei von diesen 10 Strahlen ausgehen. Die bekannteste von diesen Configurationen entsteht aus zwei perspectiv liegenden Dreiecken \(ABC\) und \(A'B'C'\), sodass \(AA', BB'\) und \(CC'\) sich in einem Punkte \(P\) schneiden, und dass \(AB\) und \(A'B', AC\) und \(A'C'\), \(BC\) und \(B'C'\) sich je in einem Punkte \(Q, R, S\) schneiden, wo nunmehr \(Q, R, S\) in gerader Linie liegen müssen. Zu derselben Configuration gelangt man auch, indem man fünf Punkte im Raume annimmt und ihre 10 Verbindungsgeraden und 10 Verbindungsebenen mit der Ebene der Zeichung zum Schnitt bringt. Um zu einer analytischen Aufsuchung jeder denkbaren \(10_{3}\) zu gelangen, ist es zweckmässig, mit Herrn Kantor den Begriff der ``Restfigur'' und der ``Restsysteme'' einzuführen. Geht man nämlich von einem Configurationspunkte aus, so entsendet derselbe drei Configurationsstrahlen, auf deren jedem noch zwei weitere Punkte der Configuration liegen, sodass nur noch drei Punkte übrig bleiben, welche die ``Restfigur'' heissen. Die drei Punkte der Restfigur bilden nun entweder einen Einer, d. h. sie liegen auf einer Configurationsgeraden, oder sie bilden einen Zweier, d. h. zwei Seiten des die Restfigur bildenden Dreiecks sind Configurationsgeraden, die dritte nicht, oder endlich sie bilden einen Dreier, d. h. alle drei Seiten des Dreiecks sind Configurationsgeraden. Je nachdem man jetzt von dem einen oder dem anderen der zehn Restfiguren, die zusammen das Restsystem bilden. Der Verfasser weist nun an der Hand der möglichen Restsysteme nach, dass nur die zehn Kantor'schen Configurationen \(10_{3}\) combinatorisch denkbar sind. Sind diese erst erschlossen, so kann man durch ein sehr einfaches Verfahren, welches mit dem von Herrn Kantor im wesentlichen übereinstimmt, von der Desargues'-schen Figur ausgehend, durch successive Versetzung immer nur zweier Elemente die sämtlichen übrigen Configurationen erhalten. Weiter geht dann Herr Schröter zur geometrischen Construction der gefundenen \(10_{3}\) über und führt dieselbe in jedem einzelnen Falle so vollständig durch, dass die Ausführung der Zeichung durch das Lineal sich von selbst ergiebt. Endlich wird noch für jede der Configurationen angegeben, wie sich aus den Configurationsgeraden ein Zehneck bilden lässt, welches sich selbst ein-, also auch unbeschrieben ist, d. h. bei dem jede Seite noch durch eine dritte Ecke läuft und jede Ecke noch in einer dritten Seite liegt. Was nun aber bei dieser analytischen Untersuchung des Verfassers wesentlich neu und interessant ist, das ist das bemerkenswerte Resultat, dass eine von den zehn combinatorisch zulässigen Configurationen geometrisch nicht existirt, was Herrn S. Kantor entgangen war. Es ist dies die Configuration, welche 6 Einer und 4 Dreier enthalten müsse.