Two circle transformations. (Q1535538)

Die Arbeit behandelt zwei Kreistransformationen, zwischen denen Dualität besteht. Die erste ist die Punktinversion, bei welcher der Punkt als Grundelement angenommen und aus einem Punkte ein anderer so abgeleitet wird, dass die Curve als der geometrische Ort des Punktes betrachtet wird; die zweite ist die Tangenteninversion, bei welcher die Gerade das Grundelement bildet, während aus jeder Geraden eine andere Gerade abgeleitet wird, so dass die Curve als die Enveloppe dieser Geraden erscheint. Die Eigenschaften, welche auf diese Weise abgeleitet werden, sind grösstenteils bekannt, doch ist die Ableitung selbst allgemeiner und systematischer. Bei der Punktinversion behandelt der Verfasser nach einander die Potenzpunkte und Potenzlinien bei Kreissystemen und Kreisbündeln; die Winkel, welche zwei sich schneidende Kreise bilden und die Inversion von Kreissystemen und Kreisbüscheln, das Doppelverhältnis zwischen vier auf Kreise gelegenen Punkten. Bei der Tangenteninversion werden erst die nötigen Bestimmungen getroffen und Grundsätze aufgestellt, die aus der Beziehung \[ \text{tang\,} \tfrac 12\, \varphi . \text{tang\,} \tfrac 12\, \varphi_1 = \lambda \] folgen. Dann werden besonders die Gleichförmigkeits-Axen und -Punkte betrachtet, die Kreissysteme und Kreisbüschel mit ihren Inversionen, die Länge der Berührungsgeraden zwischen zwei Kreisen und das Doppelverhältnis von vier Tangenten. Schliesslich wird der Zusammenhang beider Transformationen näher nachgewiesen.