Numero delle involuzioni razionali giacenti sopra una curva di dato genere. (Q1535619)

Es ist bekannt (vgl. Brill und Nöther: ``Ueber die alg. Functionen'' \(\S\) 9, Math. Annalen VII), dass es auf einer algebraischen Curve \(C_{p}^{n}\), deren Ordnung \(n\), deren Geschlecht \(p\) ist, und deren Moduln ganz allgemein sind, wenn \(m - q = (p - m + q)q\) ist, eine endliche Zahl \(N\) rationaler Involutionen \(m^{\text{ter}}\) Ordnung und \(q^{\text{ter}}\) Stufe giebt. Welches ist nun aber der Wert von \(N\)? Eben die Bestimmung dieses Werts hat der Verfasser sich vorgenommen. Um seinen Zweck zu erreichen, stützt er sich auf den folgenden Forderungssatz (postulato): ``Die endlich vorausgesetzte Zahl der \(r\)-dimensionalen Räume, welche eine in einem \(s\)-dimensionalen Raume gelegene Curve \(C_{p}^{n}\) in \(\sigma\) Punkten schneiden, leidet keine Veränderung oder wird unendlich gross, wenn an die Stelle der gegebenen Curve mehrere Curven gesetzt werden, wenn nur Ordnung und Geschlecht der zusammengesetzten Curve noch immer resp. \(n\) und \(p\) sind.'' Nachher setzt er an die Stelle von \(C_{p}^{n}\) eine rationale, von \(p\) ihrer Sehnen begleitete Curve und kommt zum folgenden Ausdruck der gesuchten Zahl: \[ N = \frac{1! 2! \dots q! 1! 2! \dots (p - m + q - 1)! p!}{1! 2! \dots (p - m + 2q + 1)!}. \] Die Aufgabe, welche sich Herr Castelnuovo gestellt hat, ist wichtig und die Auflösung derselben sehr wünschenswert. Das Resultat, welches er bekommen hat, giebt mit grosser Wahrscheinlichkeit den wahren Wert von \(N\), weil sein Forderungssatz wegen seiner Gleichartigkeit mit anderen, welche schon zugelassen worden sind, sehr leicht angenommen werden kann; daher sind wir mit dem Verf. einverstanden, wenn er seinen Versuch nicht für wertlos hält; doch können wir unseren Wunsch nicht unterdrücken, die obige Aufgabe auf einspruchsfreie Weise aufgelöst zu sehen, einen Wunsch, welcher um so lebhafter wird, je verschiedener und interessanter die geometrischen, vom Verf. für die Zahl \(N\) gefundenen Deutungen sich herausstellen.