Sulle singolarità composte delle curve algebriche piane I. (Q1535669)

Es handelt sich um die Ermittelung von Anzahlen linear unabhängiger Bedingungen, denen eine algebraische ebene Curve zu genügen hat, wenn sie in einem festen Punkte eine complicirtere Singularität von vorgeschriebener Beschaffenheit besitzen soll. Der Fundamentalbegriff der Theorie ist der einer aus einer Reihe von einzelnen Singularitäten ``zusammengesetzten'' Singularität. Es seien \(\varphi_{1} = 0, \varphi_{2} = 0, \dots, \varphi_{s} = 0\) \(s\) Curvengleichungen, in welche je noch eine Anzahl willkürlicher Parameter linear eingeht. Für eine Reihe von \(h\) \((\geqq 2)\) particulären Wertesystemen der Parameter seien jene Polynome \(\varphi_{i}\) bezeichnet mit \(\varphi_{i}^{(l)} (l = 1, 2, \dots, h)\). Dann bilde man die lineare Schar mit den willkürlichen Constanten \(a\): \[ A = \sum_{l}\;a_{l} \varphi_{1}^{(l)} \cdot \varphi_{2}^{(l)} \cdots \varphi_{s}^{(l)} = 0. \] Jede der Curven \(\varphi_{i}\) besitze in einem festen Punkte \(P\) der Ebene eine völlig bestimmte Singularität \([\sigma_{i}]\), wobei nicht ausgeschlossen ist, dass sich die Zweige irgend zweier Curven \(\varphi_{i}\) und \(\varphi_{k}\) mannigfaltig berühren. Unter der aus den \(s\) Singularitäten \([\sigma_{i}]\) zusammengesetzten Singularität \([\sigma_{1} + \sigma_{2} + \cdots + \sigma_{s}]\) wird diejenige verstanden, welche jede irreducible Curve der Schar \(A\) im Punkte \(P\) aufweist.'' Haben demnach im besondern die \(s\) Curven \(\varphi_{i}\) alle die nämliche Singularität \([\sigma]\) in \(P\), so ist die zusammengesetzte mit \([s\sigma]\) zu bezeichnen. Um den Charakter der aufgestellten Sätze zu erkennen, seien etwa die folgenden beiden herausgegriffen: ``Soll eine Curve in einem gegebenen Punkte \(P\) eine vorgegebene Singularität \([\sigma]\) besitzen, so erhält man die damit aequivalente Anzahl von linearen Bedingungen, wenn man den Abzug, den das Geschlecht einer Curve bei Auferlegung der Singularität \([2 \sigma]\) in \(P\) erfährt, vermindert um das Dreifache der entsprechenden, bei Auferlegung von \([\sigma]\) selbst resultirenden Zahl.'' ``Denkt man sich einen Punkt \(P\) als gleichzeitigen Träger der Singularitäten \([\sigma_{1}], [\sigma_{2}], \dots, [\sigma_{s}]\), und soll eine Curve daselbst die zusammengesetzte Singularität \([\sigma_{1} + \sigma_{2} + \cdots + \sigma_{s}]\) haben, so ergiebt sich die aequivalente Anzahl von linearen Bedingungen, wenn man die Summe der Schnittelemente bildet, welche sowohl je zwei der einzelnen Singularitäten mit einander veranlassen, als auch jede mit sich selber, und hiervon die Summe der Erniedrigungen abzieht, welche das Geschlecht einer Curve durch eben jene einzelnen Singularitäten erfährt.'' Wegen anderweitiger, hier zur Verwendung kommender Hülfsbegriffe und Hülfssätze muss auf die Referate über frühere Arbeiten desselben Verfassers hingewiesen werden.