Zur Bestimmung der Curven durch die Relation zwischen Krümmungs- und Torsionswinkel. (Q1535779)

Ist der Torsionswinkel \(\vartheta\) als Function des Krümmungswinkels \(\tau\) gegeben, so lässt sich das Problem der Darstellung der Curve bei willkürlich bleibendem Bogen, wie der Verfasser zuerst im J. für Math. LX. 182, LXIII. 122 und später in seiner Curventheorie gezeigt hat, auf die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ r'' + i\vartheta' r' + \tfrac 14\, r = 0 \] zurückführen, wo die Gleichungen bestehen \[ \begin{aligned} & f \cos \mu + f' \sin \mu = 1, \quad r' = \text{tg\,} \tfrac 12 \mu,\\ & f\sin \mu - f' \cos \mu = il, \quad \text{sowie die analogen},\end{aligned} \] und wo \((f, g, h)\), \((f', g', h')\), \((l, m, n)\) die Richtungscosinus der Tangente, Hauptnormale und Binormale sind. Herr Goursat hat nun das Problem in anderer Weise gelöst, und Herr Hoppe zeigt, dass die Goursat'sche Lösung mit der seinigen übereinstimmt; er widerlegt damit einen Ausspruch des Herrn Goursat, wonach die Lösung des Herrn Hoppe nur einen speciellen Fall umfassen sollte, während sie thatsächlich allgemein ist.