Ueber Curven ohne Wendepunkte. (Q1535856)

Herr B. bezeichnet als eine \(R_n\) ein Gebilde \((n - 1)^{\text{ter}}\) Dimension im Raume \(n^{\text{ter}}\) Dimension dieselbe feste Zahl (\(N\), später \(\nu\)) von tangirenden Räumen erhält, welche sich noch ausserdem, abenso wie ihre Berührungspunkte, stetig ändern, wenn der Raum im Unendlichen sich stetig verändert. Die letzte Einschränkung schliesst, wie an Beispielen dargethan wird, Wendepunkte bei Gebilden \(R_1\), auf welche Herr B. sich zunächst beschränkt, aus. Die Tangenten einer \(R_{1, \nu}\) stellt Herr B. je nach ungeradem oder geradem \(\nu\) durch die Gleichung \[ x \cos \varphi + y \sin \varphi + P (\varphi) \cos \tfrac{\varphi}{\nu} = 0 \] oder \[ x \cos \varphi + y \sin \varphi + P (\varphi) = 0 \] dar. Hierbei bedeutet \(P(\varphi)\) eine eindeutige stetige Function mit der Periode \(\nu \pi\). Aus jedem unendlich fernen Punkte erhält die Curve in der That \(\nu\) Tangenten, aus einem Punkte im Endlichen eine ungerade oder gerade Zahl, jenachdem \(\nu\) ungerade oder gerade ist. Existirt der erste und der zweite Differentialquotient \(p' (\varphi)\) und \(P'' (\varphi)\) von \(P(\varphi)\), so wird die Bedingung für eine Spitze für ungerades \(\nu\) \[ \cos\;\frac{\varphi}{\nu} \left[ \frac{r^2 - 1}{\nu}\;P (\varphi) + P'' (\varphi) - \frac{2}{\nu}\;P' (\varphi) \sin\;\frac{\varphi}{\nu} \right] =0, \] für gerades \(\nu\) hingegen \[ P(\varphi) + P'' (\varphi) = 0. \] Werden \(P(\varphi), P' (\varphi), P'' (\varphi)\) als stetig vorausgesetzt, so erhält man im ersten Falle eine ungerade, im zweiten Falle eine gerade Zahl von Spitzen. Der laufende Punkt, den die Tangente, wenn sie an der Curve in derselben Richtung fortgleitet, auf irgend einer Geraden ausschneidet, hat zu einzigen Umkehrpunkten die Schnittpunkte der Geraden mit der Curve. Nachdem noch die Bedingungen für das Auftreten von Doppelpunkten gegeben sind, wendet sich Herr B. den ``Buschenveloppen'' zu, für die \(N = 1\) ist; die Tangenten erscheinen in der Form \[ x \cos \varphi + y \sin \varphi + P (\varphi) \cos \varphi = 0, \] wobei \(P (\varphi)\) eine Function mit der Periode \(\pi\) ist. Unter den obigen Voraussetzungen über \(P(\varphi), P' (\varphi), P'' (\varphi)\) erkennt man, dass die Curve mindestens drei Spitzen besitzen muss. Als Componente wird nun ein von zwei Spitzen begrenzter Teil der Curve bezeichnet, der keine Spitze mehr enthält, und nachgewiesen, dass eine Gerade mehr als einmal, und zwar zweimal, nur die eine Componente treffen kann, welche die zu ihr parallele Tangente enthält. Daraus folgt, dass eine Componente sich selbst und ihre anstossenden Componenten überhaupt nicht, jede andere aber nur einmal schneiden kann. Ist \(2m + 1\) die Zahl der Spitzen, so giebt es also höchstens \((m - 1)(2m + 1)\) Doppelpunkte. Als untere Grenze für die Zahl der Doppelpunkte wird aus einer Stetigkeitsbetrachtung, die den Referenten indes nicht vollständig überzeugt hat, die Zahl \(m - 1\) gewonnen. Die Gerade \[ x \cos \varphi + y \sin \varphi + P(\varphi) = 0 \] umhüllt eine \(R_{1,2}\), wenn \(P(\varphi)\) eine Function mit der Periode \(2\pi\) ist; besitzt die Curve bei stetigem \(P'' (\varphi)\) keine Spitzen, das heisst, findet an keiner Stelle die Gleichung \[ P (\varphi) + P'' (\varphi) = 0 \] statt, so hat die Curve mit keiner Geraden mehr als zwei Punkte gemein, und ist daher nach des Verfassers Bezeichnung ein ``Oval''. Im zweiten Abschnitt wird der Busch \({\mathfrak{B}}\) betrachtet, dessen Geraden eine gegebene Fläche in zwei gleich grosse Stücke zerlegen, und die Frage erörtert, unter welchen Umständen \({\mathfrak{B}}\) mit einem congruenten Busch ein Oval erzeugt. Muss man die Ebene um den Winkel \(\pi - 2 \varphi\) um das Centrum \(O\) drehen, damit der zweite Busch aus dem ersten entsteht, so ist das Erzeugnis eine Fusspunktcurve im allgemeineren Sinne, der Ort der Punkte, in welchen die Geraden des Busches sich unter dem Winkel \(\varphi\) mit von \(O\) ausgehenden Strahlen treffen. Das Erzeugnis ist ein Oval, wenn \(O\) ausserhalb der Enveloppe von \({\mathfrak{B}}\) liegt, und für die kleinste Entfernung \(\varepsilon\) eines ihrer Punkte von \(O\) und das kleinste Krümmungsmass \(\kappa_0\) im Busch die Beziehung \[ \kappa_0 > \frac{1}{2 \varepsilon \sin \varphi} \] gilt. Ist die zu halbirende Fläche ein Oval, so ergiebt sich die Beziehung \[ \varepsilon \geqq\;\frac{\varSigma^2}{2 \sigma \sin \varphi}, \] wenn unter \(\varSigma\) die grösste, unter \(\sigma\) die kleinste Axe (zweimal senkrecht schneidende Gerade) verstanden wird. Der dritte Abschnitt ist als Fortsetzung der Arbeit ``über Ovale und Eiflächen'' des Verfassers zu betrachten (cfr. F. d. M. XIX. 1887. 615, JFM 19.0615.01). Von den Sätzen über Eiflächen wollen wir den einen hervorheben. Ersetzt man ein System von Schnitt-Ovalen in parallelen Ebenen durch flächengleiche, einander ähnliche Ovale, die in denselben Ebenen ähnlich so liegen, dass ein System innerer homologer Punkte einer Geraden angehört, so erhält man eine neue Eifläche. Hieraus ergiebt sich die Relation \[ 2VV'' \leqq V'^{2}, \] wenn man den Inhalt \(V\) des Ovals, den eine Ebene ausschneidet, als Function des Abstandes betrachtet, den eine Ebene ausschneidet, als Function des Abstandes betrachtet, den sie von einer zu ihr parallelen festen Ebene hat. Von den Sätzen über Ovale sind besonders die über Pol und Polare hervorzuheben. Die Polare eines Punktes wird, für äussere Pole natürlich nur im Inneren des Ovals, ganz der Kegelschnittlehre entsprechend definirt, und es wird gezeigt, dass zwei Polaren höchstens einen Punkt gemein haben können. Es wird ferner der Satz aufgestellt, dass eine Eifläche ein Ellipsoid ist, wenn jedes Schnittoval einen Mittelpunkt besitzt, ein Oval aber eine Ellipse ist, wenn die unendlich fernen Punkte gerade Polaren haben. Im letzten Abschnitt beschäftigt sich Herr B. damit, den Hölder'schen Mittelwertsatz auf den Raum von \(n\) Dimensionen auszudehnen, nachdem er ihm die Form gegeben hat: der Schwerpunkt von beliebig vielen positiv belasteten Punkten eines Ovals liegt im Innern desselben.